Grandis serie

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Grandis serie, uppkallad efter Guido Grandi, är en serie bestående av ettor med alternerande tecken:

\sum_{n=0}^\infty (-1)^n = 1 - 1 + 1 - 1 + ...

Serien är divergent, vilket innebär att den inte har någon summa i vanlig mening. Serien är dock Cesàrosummerbar med Cesàrosumman ½.

Heurestik[redigera | redigera wikitext]

Genom att försöka behandla serien med olika knep kan man få flera motsägande resultat. Man kan exempelvis, genom att införa parenteser på olika sätt få resultaten:

1-1+1-1+... = (1-1) + (1-1) + ... = 0 + 0 + ... = 0
1-1+1-1+... = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ... = 1 + 0 + 0 + ... = 1

som motsäger varandra. Genom att behandla följden som konvergent kan man även få fram ett tredje värde:

S = 1 - 1 + 1 - 1 + ... ger:
1-S = 1 - (1-1+1-1+...) = 1 - 1 + 1 - 1 + ... = S

som ger S = ½ med enkel algebra. Ovanstående knep tar inte i åtanke vad en series summa egentligen betyder.

Divergens[redigera | redigera wikitext]

I modern matematik så är summan av en oändlig serie gränsvärdet av talföljden av seriens partiella summor. Grandis series partiella summor är 1,0,1,0,..., som uppenbarligen inte konvergerar. Serien är därför konvergent (men har två ackumuleringspunkter i 0 och 1).

Det kan visas att vissa operationer, exempelvis omordning av termer, på serier som inte är absolutkonvergenta kan ändra resultatet. Grandis serie kan genom termomordning ändras till att producera vilket heltal som helst.

Alternativa summeringsmetoder[redigera | redigera wikitext]

Grandis serie är divergent, men kan med alternativa metoder "summeras" till ett bestämt värde.

Cesàrosummering[redigera | redigera wikitext]

Vid Cesàrosummering betraktar man följden av seriens partiella summor (s_n) och bildar en ny följd (\sigma_n) bestående av det aritmetiska medelvärdet av de n första partiella summorna, dvs:

\sigma_n = \frac{s_1 + s_2 + ... + s_n}{n}.

Cesàrosumman är gränsvärdet för (\sigma_n). För Grandis serie är elementen i (\sigma_n):

(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{2}{3}, \tfrac{2}{4}, \tfrac{3}{5}, \tfrac{3}{6}, \tfrac{4}{7}, \tfrac{4}{8}, ...) = (1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{2}{3}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{3}{5}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{4}{7}, \tfrac{1}{2}, ...)

Så att \sigma_n = \tfrac{1}{2} för jämna n, \sigma_n = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2n} för udda n. Följden av \sigma_n konvergerar därför till ½.

Abelsummering[redigera | redigera wikitext]

Vid Abelsummering transformerar man en given serie a_0 + a_1 + a_2 + ... till en serie a_0 + a_1x + a_2x^2 + .... Om denna nya serie konvergerar för 0<x<1 till en funktion som har ett gränsvärde då x går mot 1, kallas detta gränsvärde för Abelsumman. I fallet med Grandis serie får man:

\lim_{x \to 1} \sum_{n=0}^\infty (-x)^n = \lim_{x \to 1} \frac{1}{1+x} = \frac{1}{2}.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia

Se även[redigera | redigera wikitext]