Cirkeldelningspolynom

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

I matematik är cirkeldelningspolynomet eller det cyklotomiska polynomet för ett positivt heltal n det moniska minimalpolynomet över Q för en primitiv n:te enhetsrot. Polynomet kan beskrivas som

\Phi_n(x) = \prod_\omega (x-\omega),

där ω löper över mängden av primitiva n:te enhetsrötter. Detta antal är precis \phi(n)\,, där \phi\, är Eulers φ-funktion. Därför har \Phi_n grad \phi(n)\,.

De 104 första cirkeldelningspolynomen har bara 1, -1 och 0 som koefficienter. Emellertid är sjundegradskoefficienten liksom fyrtioförstagradskoefficienten i \Phi_{105} -2.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

\Phi_1(x) = x-1
\Phi_2(x) = x+1
\Phi_3(x) = x^2 + x + 1
\Phi_4(x) = x^2 + 1
\Phi_5(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x +1
\Phi_6(x) = x^2 - x + 1
\Phi_7(x) = x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
\Phi_8(x) = x^4 + 1
\Phi_9(x) = x^6 + x^3 + 1
\Phi_{10}(x) = x^4 - x^3 + x^2 - x + 1
\Phi_{12}(x) = x^4 - x^2 + 1
\Phi_{15}(x) = x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x + 1
\begin{align}
\Phi_{105}(x) = & \quad x^{48} + x^{47} + x^{46} - x^{43} - x^{42} - 2 x^{41} - x^{40} - x^{39} + x^{36} + x^{35} + x^{34} \\
& + x^{33} + x^{32} + x^{31} - x^{28} - x^{26} - x^{24} - x^{22} - x^{20} + x^{17} + x^{16} + x^{15} \\
& + x^{14} + x^{13} + x^{12} - x^9 - x^8 - 2 x^7 - x^6 - x^5 + x^2 + x + 1
\end{align}

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Om n är ett primtal är

\Phi_n(x) = 1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}=\sum_{i=0}^{n-1}x^i.

Om n är ett udda heltal större än 1 äe

\Phi_{2n}(x) = \Phi_n(-x).

Om n är ett jämt heltal är

\Phi_{2n}(x) = \Phi_n(x^2).

Speciellt om n=2p med p ett udda primtal är

\Phi_n(x) = 1-x+x^2-\cdots+x^{p-1}=\sum_{i=0}^{p-1}(-x)^i.

Om n=pm är en primtalspotens är

\Phi_n(x) = \Phi_p(x^{p^{m-1}}) =\sum_{i=0}^{p-1}x^{ip^{m-1}}.

Gauss formel[redigera | redigera wikitext]

Låt n vara udda, kvadratfritt och större än 3. Då är[1][2]


4\Phi_n(z) = A_n^2(z) - (-1)^{\frac{n-1}{2}}nz^2B_n^2(z)

där både An(z) och Bn(z) har heltalskoefficenter, An(z) har gard φ(n)/2 och Bn(z) har grad φ(n)/2 − 2. Vidare är An(z) palindromisk då dess grad är jämn; om dess grad är udda är den antipalindromisk. Analogt är Bn(z) palindromisk förutom då n är sammansatt och ≡ 3 (mod 4), då den är antipalindromisk.

De första fallen är


\begin{align}
4\Phi_5(z)
&=4(z^4+z^3+z^2+z+1)\\ 
&= (2z^2+z+2)^2 - 5z^2
\end{align}

\begin{align}
4\Phi_7(z)
&=4(z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1)\\ 
&= (2z^3+z^2-z-2)^2+7z^2(z+1)^2
\end{align}

\begin{align}
4\Phi_{11}(z)
&=4(z^{10}+z^9+z^8+z^7+z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1)\\ 
&= (2z^5+z^4-2z^3+2z^2-z-2)^2+11z^2(z^3+1)^2
\end{align}.

Användningar[redigera | redigera wikitext]

Genom att använda \Phi_n kan man ge ett elementärt bevis av oändligheten av primtal kongruenta 1 modulo n,[3] vilket är ett specialfall av Dirichlets sats om aritmetiska följder.

Källor[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Gauss, DA, Articles 356-357
  2. ^ Riesel, pp. 315-316, p. 436
  3. ^ S. Shirali. Number Theory. Orient Blackswan, 2004. p. 67. ISBN 81-7371-454-1
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.