Cirkeldelningspolynom

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

I matematik är cirkeldelningspolynomet eller det cyklotomiska polynomet för ett positivt heltal n det moniska minimalpolynomet över Q för en primitiv n:te enhetsrot. Polynomet kan beskrivas som

\Phi_n(x) = \prod_\omega (x-\omega),

där ω löper över mängden av primitiva n:te enhetsrötter. Detta antal är precis \phi(n)\,, där \phi\, är Eulers φ-funktion. Därför har \Phi_n grad \phi(n)\,.

De 104 första cirkeldelningspolynomen har bara 1, -1 och 0 som koefficienter. Emellertid är sjundegradskoefficienten liksom fyrtioförstagradskoefficienten i \Phi_{105} -2.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

\Phi_1(x) = x-1
\Phi_2(x) = x+1
\Phi_3(x) = x^2 + x + 1
\Phi_4(x) = x^2 + 1
\Phi_5(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x +1
\Phi_6(x) = x^2 - x + 1
\Phi_7(x) = x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
\Phi_8(x) = x^4 + 1
\Phi_9(x) = x^6 + x^3 + 1
\Phi_{10}(x) = x^4 - x^3 + x^2 - x + 1
\Phi_{12}(x) = x^4 - x^2 + 1
\Phi_{15}(x) = x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x + 1
\begin{align}
\Phi_{105}(x) = & \quad x^{48} + x^{47} + x^{46} - x^{43} - x^{42} - 2 x^{41} - x^{40} - x^{39} + x^{36} + x^{35} + x^{34} \\
& + x^{33} + x^{32} + x^{31} - x^{28} - x^{26} - x^{24} - x^{22} - x^{20} + x^{17} + x^{16} + x^{15} \\
& + x^{14} + x^{13} + x^{12} - x^9 - x^8 - 2 x^7 - x^6 - x^5 + x^2 + x + 1
\end{align}


Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.