Rationella tal
Från Wikipedia
Rationella tal, inom matematiken, är en benämning på sådana tal som kan skrivas som en kvot (ett bråk) av två heltal:
I vardagligt språk kallas ett sådant tal för bråktal och heltalet T är bråkets täljare och heltalet N bråkets nämnare.
Tillsammans utgör de rationella talen en mängd som vanligtvis betecknas med bokstaven 
. Ett alternativt sätt att uppfatta denna mängd är som mängden bestående av alla lösningar (x) till ekvationer ax − b = 0, där b är ett heltal och a är ett heltal som inte är lika med talet noll.
[redigera] Några räkneregler
Om vi uppfattar elementen i mängden som lösningar till ekvationer ax − b = 0, så kan vi härleda räkneregler för bråktal.
- Bråket b / 1 löser ekvationen 1x − b = 0, det vill säga x = b. Eftersom ekvationen endast har en lösning, så måste talen b / 1 och b vara lika, det vill säga b / 1 = b.
- Låt n vara ett heltal, som inte är lika med talet noll. Bråket (nb) / (na) är en lösning till ekvationen (na)x − (nb) = 0. Genom att bryta ut den gemensamma faktorn n, kan vi omforma ekvationen till n(ax − b) = 0. Den enda möjligheten för denna ekvation att vara sann är om ax − b = 0, eftersom vi vet att heltalet n inte är lika med noll. Men detta innebär att talet x – som ju var bråket (nb) / (na) – är lika med bråket b / a:
- Vi börjar med att notera att bråket b / a är en lösning till ekvationen ax − b = 0, och att bråket d / c är en lösning till ekvationen cy − d = 0. Vi skall visa att talet x + y är en lösning till ekvationen (ac)z − (bc + ad) = 0, eftersom denna ekvation har en lösning som är bråket (bc + ad) / (ac).
- För att göra detta multiplicerar vi x-ekvationen med heltalet c och y-ekvationen med heltalet a och adderar de två erhållna ekvationerna: (acx − bc) + (acy − ad) = 0. Denna nya ekvation omformar vi genom att bryta ut den gemensamma faktorn ac, vilket ger oss den sökta ekvationen: ac(x + y) − (bc + ad) = 0.
[redigera] Några egenskaper
- Sedd som en delmängd av de reella talen utgör de rationella talen en så kallad tät mängd; Detta innebär att det alltid finns ett annat rationellt tal mellan två rationella tal, och att varje reellt tal kan approximeras godtyckligt väl med ett rationellt tal.
- De rationella talen utgör vad som kallas en uppräknelig mängd, vilket innebär att det i viss mening finns lika många rationella tal som det finns heltal. Detta kan tyckas vara motsägelsefullt, eftersom mängden av alla heltal är en äkta delmängd av ; Detta följer av den första räkneregeln för bråktal som vi härledde ovan: b / 1 = b där b är ett heltal.
- Det faktum att man kan koppla samman varje rationellt tal med ett unikt heltal, och vice versa, gör att kardinaltalet för är lika med kardinaltalet för
(mängden av alla heltal). På matematiskt språk säger man att det existerar en bijektiv avbildning mellan mängderna och .
[redigera] Se även
|
|||||||||||
