Rationella tal

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Rationella tal, "bråktal", är inom matematiken tal som kan skrivas som en kvot (ett bråk) av två heltal:[1]

\frac{T}{N}

där heltalet T är bråkets täljare och heltalet N bråkets nämnare.

Tillsammans utgör de rationella talen en mängd som vanligtvis betecknas med bokstaven Q eller ℚ. Ett alternativt sätt att uppfatta denna mängd är som mängden bestående av alla lösningar (x) till ekvationer ax - b = 0, där a och b är heltal och a inte är lika med noll.[2][3]

Räkneregler[redigera | redigera wikitext]

Om vi uppfattar elementen i mängden ℚ som lösningar till ekvationer ax - b = 0, så kan vi härleda räkneregler för bråktal.

  • {b\over 1} = b.
Bråket b/1 löser ekvationen 1x - b = 0, det vill säga x = b. Eftersom ekvationen endast har en lösning, så måste talen b/1 och b vara lika, det vill säga b/1 = b.
  • {n \cdot b\over n \cdot a} = {b \over a}, \quad n \neq 0.
Låt n vara ett heltal, som inte är lika med talet noll. Bråket nbna är en lösning till ekvationen (na)x - (nb) = 0. Genom att bryta ut den gemensamma faktorn n, kan vi omforma ekvationen till n(ax - b) = 0. Den enda möjligheten för denna ekvation att vara sann är om ax - b = 0, eftersom vi vet att heltalet n inte är lika med noll. Men detta innebär att talet x – som ju var bråket nbna – är lika med bråket b/a
\frac{n \cdot b}{n \cdot a} = \frac{b}{a}.
  • {b \over a} + {d \over c} = {bc + ad \over a c}, \quad a\neq0, \, c\neq 0.
Vi börjar med att notera att bråket b/a är en lösning till ekvationen ax - b = 0, och att bråket d/c är en lösning till ekvationen cy - d = 0. Vi skall visa att talet x + y är en lösning till ekvationen (ac)z - (bc + ad) = 0, eftersom denna ekvation har en lösning som är bråket (bc + ad)/ac.
För att göra detta multiplicerar vi x-ekvationen med heltalet c och y-ekvationen med heltalet a och adderar de två erhållna ekvationerna: (acx - bc) + (acy - ad) = 0. Denna nya ekvation omformar vi genom att bryta ut den gemensamma faktorn ac, vilket ger oss den sökta ekvationen: ac(x + y) - (bc + ad) = 0.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

  • Sedd som en delmängd av de reella talen utgör de rationella talen en så kallad tät mängd; Detta innebär att det alltid finns ett annat rationellt tal mellan två rationella tal, och att varje reellt tal kan approximeras godtyckligt väl med ett rationellt tal.
  • De rationella talen utgör vad som kallas en uppräknelig mängd, vilket innebär att det i viss mening finns lika många rationella tal som det finns heltal. Detta kan tyckas vara motsägelsefullt, eftersom mängden av alla heltal är en äkta delmängd av ℚ; Detta följer av den första räkneregeln för bråktal som vi härledde ovan: b/1 = b där b är ett heltal.
  • Det faktum att man kan koppla samman varje rationellt tal med ett unikt heltal, och vice versa, gör att kardinaltalet för ℚ är lika med kardinaltalet för ℤ (mängden av alla heltal). På matematiskt språk säger man att det existerar en bijektiv avbildning mellan mängderna ℚ och ℤ.[1]

Se även[redigera | redigera wikitext]

Office-book.svg
Den här artikeln ingår i boken: 
Matematik 

Källor[redigera | redigera wikitext]

Fotnoter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ [a b] ”1.1 Olika typer av tal”. http://wiki.math.se/wikis/sommarmatte1/index.php/1.1_Olika_typer_av_tal. Läst 14 oktober 2013. 
  2. ^ Rosen, Kenneth (2007). Discrete Mathematics and its Applications (6th). New York, NY: McGraw-Hill. Sid. 105,158-160. ISBN 978-0-07-288008-3 
  3. ^ ”Talområden och funktioner”. http://web.abo.fi/fak/mnf/mate/kurser/gkanalys/GKAkapitel1.pdf. Läst 14 oktober 2013.  Noia 64 mimetypes pdf.png PDF
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.