Rationella tal

Rationella tal
Hel (1/1) Halv (1/2) Tredjedel (1/3) Fjärdedel (1/4) Femtedel (1/5) Sjättedel (1/6) Sjundedel (1/7) Åttondel (1/8) Niondel (1/9) Tiondel (1/10)

Rationella tal, är i matematiken tal som kan skrivas som en kvot (ett bråk) av två heltal:

$\frac{T}{N}$

I vardagligt språk kallas ett sådant tal för bråktal och heltalet T är bråkets täljare och heltalet N bråkets nämnare.

Tillsammans utgör de rationella talen en mängd som vanligtvis betecknas med bokstaven Q eller ℚ. Ett alternativt sätt att uppfatta denna mängd är som mängden bestående av alla lösningar (x) till ekvationer ax - b = 0, där b är ett heltal och a är ett heltal som inte är lika med talet noll.

Några räkneregler

Om vi uppfattar elementen i mängden ℚ som lösningar till ekvationer ax - b = 0, så kan vi härleda räkneregler för bråktal.

• ${b\over 1} = b.$

Bråket b/1 löser ekvationen 1x - b = 0, det vill säga x = b. Eftersom ekvationen endast har en lösning, så måste talen b/1 och b vara lika, det vill säga b/1 = b.

• ${n \cdot b\over n \cdot a} = {b \over a}, \quad n \neq 0.$

Låt n vara ett heltal, som inte är lika med talet noll. Bråket ^nb_na är en lösning till ekvationen (na)x - (nb) = 0. Genom att bryta ut den gemensamma faktorn n, kan vi omforma ekvationen till n(ax - b) = 0. Den enda möjligheten för denna ekvation att vara sann är om ax - b = 0, eftersom vi vet att heltalet n inte är lika med noll. Men detta innebär att talet x – som ju var bråket ^nb_na – är lika med bråket b/a

$\frac{n \cdot b}{n \cdot a} = \frac{b}{a}.$

• ${b \over a} + {d \over c} = {bc + ad \over a c}, \quad a\neq0, \, c\neq 0.$

Vi börjar med att notera att bråket b/a är en lösning till ekvationen ax - b = 0, och att bråket d/c är en lösning till ekvationen cy - d = 0. Vi skall visa att talet x + y är en lösning till ekvationen (ac)z - (bc + ad) = 0, eftersom denna ekvation har en lösning som är bråket (bc + ad)/ac.

För att göra detta multiplicerar vi x-ekvationen med heltalet c och y-ekvationen med heltalet a och adderar de två erhållna ekvationerna: (acx - bc) + (acy - ad) = 0. Denna nya ekvation omformar vi genom att bryta ut den gemensamma faktorn ac, vilket ger oss den sökta ekvationen: ac(x + y) - (bc + ad) = 0.

Några egenskaper

• Sedd som en delmängd av de reella talen utgör de rationella talen en så kallad tät mängd; Detta innebär att det alltid finns ett annat rationellt tal mellan två rationella tal, och att varje reellt tal kan approximeras godtyckligt väl med ett rationellt tal.
• De rationella talen utgör vad som kallas en uppräknelig mängd, vilket innebär att det i viss mening finns lika många rationella tal som det finns heltal. Detta kan tyckas vara motsägelsefullt, eftersom mängden av alla heltal är en äkta delmängd av ℚ; Detta följer av den första räkneregeln för bråktal som vi härledde ovan: b/1 = b där b är ett heltal.
• Det faktum att man kan koppla samman varje rationellt tal med ett unikt heltal, och vice versa, gör att kardinaltalet för ℚ är lika med kardinaltalet för ℤ (mängden av alla heltal). På matematiskt språk säger man att det existerar en bijektiv avbildning mellan mängderna ℚ och ℤ.

Se även

• Irrationella tal
• Reella tal
• Kardinaltal
• Heltal
• Kedjebråk
• Kroppsutvidgning
• Talkropp
• Galoisteori