Differential

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
För den fordonstekniska delen, se Differentialväxel, Differentialbroms, Torsendifferential

Differential är en term inom matematisk analys för en infinitesimal - oändligt liten - ändring i en funktion.

Differentialen av en funktion f(x), som betecknas

df(x) (eller bara df),

är den linjära approximationen av differensen

\Delta f(x) = f(x+h)-f(x).

\Delta f(x) blir därmed en funktion som (även) beror av h. df(x) är en approximation av denna funktion, närmare bestämt en linjär approximation, och beror även den av h.

Funktionen df(x) av h, eller [df(x)](h), definieras som

[df(x)](h) = f^\prime(x)h.

Den motsvarande definitionen för funktioner av flera variabler är

[df(\bar{x})](\bar{h})=grad(f(\bar{x})) \cdot \bar{h}.

Approximationen blir (för ett fixt x)

\Delta f(x) = f(x+h)-f(x) = f^\prime(x)h + h\varrho(h),

där h\varrho(h) är felet (som ej är oberoende av x). I figuren ses geometriskt hur f ersätts med sin tangent i x. [figur finns ej än]

[df(x)](h) är alltså en linje parallell med tangenten till funktionen f(x) i x. (Tangenten är f(x) + [df(x)](h)).

Differentialer kan användas för att beräkna ett närmevärde på en funktion. Exempelvis f(x) = x^3. Om vi vill beräkna f(2.05) kan vi approximera detta som

f(2) + [df(2)](0.05) = f(2) + f^\prime(2) \cdot 0.05 = 8 + 12 \cdot 0.05 = 8.6.

(Notera att f(2.05) = 2.05^3 = 8,615125.)

Noteras att

[dx](h) = x^\prime h = 1 \cdot h = h

får man

[dy](h) = y^\prime h = y^\prime [dx](h)

vilket ger

\frac{[dy](h)}{[dx](h)} = y^\prime .

Uttryckt som funktion h av ger detta det välkända uttrycket

y^\prime = \frac{dy}{dx}.