Riktningsderivata

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematik, särskilt flervariabelanalys, är riktningsderivata ett mått på hur snabbt en funktion förändras i en viss riktning. Givet en reellvärd funktion f, en punkt a och en linje x = a + tv där v är en enhetsvektor, ges riktningsderivatan i riktningen v av

f'_v(\mathbf{a}) = \lim_{t \to 0} \frac{f(\mathbf{a} + t\mathbf{v}) - f(\mathbf{a})}{t}

Med hjälp av gradienten kan riktningsderivatan även uttryckas på den mer praktiska formen

f'_v(\mathbf{a}) = \nabla f(\mathbf{a}) \cdot \mathbf{v}.

Riktningsderivatan utgör en generalisering till godtyckliga riktningar av den partiella derivatan, som fås då v sätts lika med en basvektor.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Vi visar att

f'_v(\mathbf{a}) = \lim_{t \to 0} \frac{f(\mathbf{a} + t\mathbf{v}) - f(\mathbf{a})}{t} = \nabla f(\mathbf{a}) \cdot \mathbf{v}

Sätt h(t)=f(\mathbf{a}+t\mathbf{v}), vi har då

\lim_{t \to 0} \frac{f(\mathbf{a} + t\mathbf{v}) - f(\mathbf{a})}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{h(t)-h(0)}{t} = h'(0)

Men enligt kedjeregeln är h'(t)=\nabla f(\mathbf{a}+t\mathbf{v}) \cdot \mathbf{v}. Påståendet följer genom att sätta t=0.

Se även[redigera | redigera wikitext]