Fatous lemma

Fatous lemma är en olikhet inom matematisk analys som förkunnar att om $\mu$ är ett mått på en mängd $X$ och $f_{n}$ är en följd av funktioner på $X$, mätbara med avseende på $\mu$, så gäller

$\int \liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}\,\mathrm {d} \mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int f_{n}\,\mathrm {d} \mu .$

Bevis

Fatous lemma kan bevisas på följande vis. Låt $g_{n}(x)=\inf\{\,f_{k}(x):n\leq k\,\}$. Då är $g_{n}\leq f_{n}$ och $\{g_{n}\}$ är en växande följd av funktioner på $X$. Härav följer att

$\int g_{n}\,\mathrm {d} \mu \leq \int f_{n}\,\mathrm {d} \mu$

gäller för varje $n$ och att gränsvärdet $\lim _{n\to \infty }\int g_{n}\,\mathrm {d} \mu$ existerar, varför

$\lim _{n\to \infty }\int g_{n}\,\mathrm {d} \mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int f_{n}\,\mathrm {d} \mu$.

Det är också klart att $\lim _{n\to \infty }g_{n}=\liminf _{n\to \infty }f_{n}$. Nu ger monotona konvergenssatsen att

$\int \liminf _{n\to \infty }f_{n}\,\mathrm {d} \mu =\int \lim _{n\to \infty }g_{n}\,\mathrm {d} \mu =\lim _{n\to \infty }\int g_{n}\,\mathrm {d} \mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int f_{n}\,\mathrm {d} \mu$,

vilket slutför beviset.