Fatous lemma

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Fatous lemma är en olikhet inom matematisk analys som förkunnar att om \mu är ett mått på en mängd X och f_n är en följd av funktionerX, mätbara med avseende på \mu, så gäller

 \int \liminf_{n \rightarrow \infty} f_n \, \mathrm{d}\mu \leq \liminf_{n \to \infty} \int f_n \, \mathrm{d} \mu.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Fatous lemma kan bevisas på följande vis. Låt g_n(x) = \inf \{\, f_k (x) : n \leq k \, \}. Då är g_n \leq f_n och \{g_n\} är en växande följd av funktioner på X. Härav följer att

\int g_n \, \mathrm{d}\mu \leq \int f_n \, \mathrm{d} \mu

gäller för varje n och att gränsvärdet \lim_{n \to \infty} \int g_n \,\mathrm{d}\mu existerar, varför

\lim_{n\to \infty} \int g_n \, \mathrm{d}\mu \leq \liminf_{n\to\infty} \int f_n \,\mathrm{d}\mu.

Det är också klart att \lim_{n\to \infty} g_n = \liminf_{n \to \infty} f_n. Nu ger monotona konvergenssatsen att

\int \liminf_{n\to \infty} f_n \,\mathrm{d} \mu = \int \lim_{n \to \infty} g_n \, \mathrm{d}\mu  = \lim_{n \to \infty} \int g_n \, \mathrm{d}\mu \leq \liminf_{n\to\infty} \int f_n \,\mathrm{d} \mu,

vilket slutför beviset.