Fatous lemma

Fatous lemma är en olikhet inom matematisk analys som förkunnar att om $\mu$ är ett mått på en mängd $X$ och $f_n$ är en följd av funktioner på $X$, mätbara med avseende på $\mu$, så gäller

$\int \liminf_{n \rightarrow \infty} f_n \, \mathrm{d}\mu \leq \liminf_{n \to \infty} \int f_n \, \mathrm{d} \mu.$

Bevis

Fatous lemma kan bevisas på följande vis. Låt $g_n(x) = \inf \{\, f_k (x) : n \leq k \, \}$. Då är $g_n \leq f_n$ och $\{g_n\}$ är en växande följd av funktioner på $X$. Härav följer att

$\int g_n \, \mathrm{d}\mu \leq \int f_n \, \mathrm{d} \mu$

gäller för varje $n$ och att gränsvärdet $\lim_{n \to \infty} \int g_n \,\mathrm{d}\mu$ existerar, varför

$\lim_{n\to \infty} \int g_n \, \mathrm{d}\mu \leq \liminf_{n\to\infty} \int f_n \,\mathrm{d}\mu$.

Det är också klart att $\lim_{n\to \infty} g_n = \liminf_{n \to \infty} f_n$. Nu ger monotona konvergenssatsen att

$\int \liminf_{n\to \infty} f_n \,\mathrm{d} \mu = \int \lim_{n \to \infty} g_n \, \mathrm{d}\mu = \lim_{n \to \infty} \int g_n \, \mathrm{d}\mu \leq \liminf_{n\to\infty} \int f_n \,\mathrm{d} \mu$,

vilket slutför beviset.