Mängd

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Matematiska begrepp
Venn A subset B.svg
Venn A union B.png
Venn A intersect B.svg

En mängd är en samling av objekt. De objekt som ingår i en mängd kallas mängdens element. I axiomatisk mängdteori, till exempel Zermelo-Fraenkels mängdteori, finns ett antal axiom som fastställer hur mängder får bildas. De får till exempel inte ha sig själva som element. Men i stort sett är det nästan inga begränsningar på vad en mängd får innehålla.

En mängd är ändlig eller oändlig beroende på om den innehåller ett ändligt eller oändligt antal element. Ändliga mängder kan anges genom att man räknar upp elementen inom klammrar; exempelvis {2, 3, 5, 7} är mängden av alla primtal under 10. Mängden av alla primtal är emellertid oändlig (det finns oändligt många primtal), så den kan man inte ange på detta sätt. Ett mer generellt sätt att ange mängder är genom att skriva {x : A(x)}, vilket betyder mängden av alla x som har egenskapen A (märk att andra tecken än kolon kan användas i litteraturen). Till exempel kan mängden av samtliga primtal skrivas {x : x är ett primtal}. Nästan alla matematiska begrepp som finns kan reduceras till mängder.

Två mängder är lika om de innehåller exakt samma element. Mängder är oordnade det vill säga det spelar ingen roll i vilken ordning vi räknar upp elementen. {1, 2, 3} = {3, 1, 2}. Det spelar heller ingen roll om vi räknar upp några element flera gånger. {1, 1, 2, 3} = {1, 2, 3, 3, 3, 3}.

Den mängd som inte innehåller några element alls skrivs {} eller ∅ och kallas den tomma mängden. Den mängd som innehåller alla element som är relevanta (dvs. alla element som ingår i domänen för det man för tillfället studerar) kallas universum, universalmängd eller "grundmängd" och betecknas ibland med bokstaven U eller G.

Vanliga operationer på mängder, så kallade mängdoperationer, är:

Två mängder A och B sägs innehålla lika många element om och endast om det finns en bijektiv funktion från A till B. Exempelvis finns det ingen sådan från de naturliga talen till de reella och därför kan man säga att det finns fler reella tal än naturliga.

Antalet element i en mängd betecknas med absolutbelopp, ex: |M| och kallas mängdens kardinaltal. Mängden av alla naturliga tal (ℕ) har kardinaltalet Alef-noll (ℵ₀) som är den minsta oändliga kardinaliteten.

Mängdegenskaper[redigera | redigera wikitext]

Särskilda mängder[redigera | redigera wikitext]

Det finns ett antal mängder som är väldigt viktiga och så vanliga inom matematiken att de har fått egna symboler. En av dessa är den tomma mängden och de flesta andra brukar skrivas med typsnittet blackboard bold eller dubbel vänsterkant:

  • ℙ, mängden av alla primtal: ℙ = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …}
  • ℕ, mängden av alla naturliga tal: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …} (ibland: {1, 2, 3, 4, …})
  • ℤ, mängden av alla heltal: ℤ = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
  • ℚ, mängden av alla rationella tal: ℚ = { ab : a, b ∈ ℤ, b ≠ 0}
  • ℝ, mängden av alla reella tal
  • ℂ, mängden av alla komplexa tal: ℂ = {a + bi : a, b ∈ ℝ}
  • ℍ, mängden av alla kvaternioner: ℍ = {a + bi + cj + dk : a, b, c, d ∈ ℝ}

Alla ovanstående mängder innehåller oändligt många element och är äkta delmängder till mängderna under.

Man brukar även tala om mängderna ℝn (för alla heltal n större än 0), som är mängderna av n-tiplar av tal ur ℝ. Till exempel är ℝ2, mängden av alla talpar (a, b) där a, b ∈ ℝ.

Andra särskilda mängder[redigera | redigera wikitext]

  • Cn, mängden av alla funktioner som är kontinuerligt deriverbara n gånger.
  • C, mängden av alla glatta funktioner.
  • D = C0, mängden av alla testfunktioner.
  • D′, mängden av alla distributioner.
  • L, mängden av alla funktioner vars integral av absolutbeloppet är ändlig.
  • Ln(M), mängden av alla funktioner vars integral av absolutbeloppet upphöjt till n är ändlig på M.
    • Ln(ℝ) = alla funktioner f sådana att \scriptstyle{\int_{-\infty}^\infty |f(t)|^n dt\,<\,\infty}
  • L1loc , mängden av alla funktioner som är integrabla till absolutbeloppet på ett slutet begränsat intervall

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.