Monotona konvergenssatsen

Monotona konvergenssatsen är en sats inom den matematiska analysen som förkunnar att om $\mu$ är ett mått på en mängd $X$ och $f_n$ är en växande följd av funktioner som antar icke negativa värden och är integrerbara med avseende på $\mu$, så uppfyller funktionen

$f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x)$

likheten

$\lim_{n \rightarrow \infty} \int f_n \, \mathrm{d}\mu = \int f \, \mathrm{d}\mu.$

Bevis

Olikheten $f_n \leq f$ ger att

$\int f_n \, \mathrm{d} \mu \leq \int f \, \mathrm{d}\mu,$

med en naturlig tolkning i det fall att $f$ inte är integrerbar. Det följer att

$\lim_{n\to \infty} \int f_n \, \mathrm{d} \mu \leq \int f \, \mathrm{d}\mu.$

Om $\lim_{n\to \infty} \int f_n \, \mathrm{d} \mu = \infty$, så är utsagan i satsen uppenbarligen sann. Antag att $\lim_{n\to \infty} \int f_n \, \mathrm{d} \mu < \infty$. Då gäller att

$\int |f_m - f_n| \, \mathrm{d}\mu = \int f_m\, \mathrm{d}\mu - \int f_n \, \mathrm{d} \mu \to 0, \quad m \geq n \to \infty .$

Tag enkla funktioner $g_n$ sådana att $\int |g_n - f_n| \, \mathrm{d} \mu < 4^{-n}$. Då är

$\mu \{\, x: |g_n - f_n| \geq 2^{-n} \, \} < 2^{-n}.$

Det följer att $\int |g_n - g_m| \, \mathrm{d}\mu \to 0$ när $m,n \to \infty$, och $\lim_n g_n = f$ nästan överallt. Sålunda är $f$ integrerbar och

$\int f \,\mathrm{d} \mu = \lim_{n\to \infty} \int g_n \,\mathrm{d} \mu = \lim_{n \to \infty} \int f_n \,\mathrm{d} \mu.$