Funktor

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom kategoriteorin i matematik är en funktor en tillordning som på ett naturligt sätt till varje objekt i en kategori associerar ett annat objekt.

Inledning[redigera | redigera wikitext]

En mycket vanlig konstruktion i matematiken är att man till en struktur av en viss typ associerar en annan struktur. Några exempel på sådana konstruktioner är:

  1. Till ett topologiskt rum associerar man dess homologigrupper
  2. Till en ring associerar man dess maximala fraktionsring
  3. Till en grupp associerar man dess centrum
  4. Till ett komplex associerar man dess homologikomplex
  5. Givet en abelsk grupp N, associerar man till varje abelsk grupp gruppen av homomorfier Hom(M,N)

Om en sådan association är sådan att avbildningar mellan två strukturer på ett naturligt sätt inducerar avbildningar mellan de associerade strukturerna, kallas associationen för en funktor. Mer allmänt kan man definiera funktorer mellan två kategorier Alla associationer i listan ovan är funktorer.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Givet två kategorier C,D, så är en (kovariant) funktor F ett par av tillordningar (F_0,F_1) där F_0 avbildar objekt i C på objekt i D och F_1 avbildar morfier i C på morfier i D sådan att följande är sant:

  • Om c,c'\in C och \phi:c\rightarrow c' så gäller F_1(\phi):F_0(c)\rightarrow F_0(c')
  • Om \phi_2=\phi_1\circ\phi_0F_1(\phi_2)=F_1(\phi_1)\circ F_1(\phi_0)

För en kontravariant funktor ersätts det första villkoret med:

  • Om c,c'\in C och \phi:c\rightarrow c' så gäller F_1(\phi):F_1(c')\rightarrow F_1(c)

Kovariant och kontravariant funktor[redigera | redigera wikitext]

En kovariant funktor är en funktor som bevarar ordningen på morfierna.

En kontravariant funktor är en funktor som kastar om ordningen på morfierna.

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.