Den utskrivbara versionen stöds inte längre och kanske innehåller renderingsfel. Uppdatera din webbläsares bokmärken och använd standardutskriftsfunktionen istället.
Heine–Cantors sats är en matematisk sats uppkallad efter Georg Cantor och Eduard Heine som säger att om M är ett kompakt metriskt rum är varje kontinuerlig funktion
f
:
M
→
N
{\displaystyle f:M\to N}
N är ett metriskt rum, likformigt kontinuerlig .
Bevis Låt
f
:
M
→
N
{\displaystyle f:M\to N}
M med metrik d till N med metrik p .
Att f skulle vara likformigt kontinuerlig innebär
∀
ε
>
0
∃
δ
>
0
:
d
(
x
,
y
)
<
δ
⇒
p
(
f
(
x
)
,
f
(
y
)
)
<
ε
∀
x
,
y
∈
M
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\exists \delta >0:d(x,y)<\delta \Rightarrow p(f(x),f(y))<\varepsilon ~~\forall x,y\in M}
antag nu att f inte är likformigt kontinuerlig, dvs:
∃
ε
0
:
∀
δ
>
0
∃
x
,
y
∈
M
:
d
(
x
,
y
)
<
δ
o
c
h
p
(
f
(
x
)
,
f
(
y
)
)
≥
ε
0
.
{\displaystyle \exists \varepsilon _{0}:\forall \delta >0\exists x,y\in M:d(x,y)<\delta ~\mathrm {och} ~p(f(x),f(y))\geq \varepsilon _{0}.}
Välj två följder ,
x
n
{\displaystyle x_{n}}
y
n
{\displaystyle y_{n}}
d
(
x
n
,
y
n
)
=
1
n
{\displaystyle d(x_{n},y_{n})={\frac {1}{n}}}
p
(
f
(
x
n
)
,
f
(
y
n
)
)
≥
ε
0
.
{\displaystyle p(f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \varepsilon _{0}.}
Då M är kompakt existerar det (Bolzano–Weierstrass sats ) två delföljder som konvergerar
x
n
k
→
x
0
∈
M
o
c
h
y
n
k
→
y
0
∈
M
{\displaystyle x_{n_{k}}\to x_{0}\in M~\mathrm {och} ~y_{n_{k}}\to y_{0}\in M}
så det följer att:
d
(
x
n
k
,
y
n
k
)
<
1
n
k
⇒
p
(
f
(
x
n
k
)
,
f
(
y
n
k
)
)
≥
ε
0
{\displaystyle d(x_{n_{k}},y_{n_{k}})<{\frac {1}{n_{k}}}\Rightarrow p(f(x_{n_{k}}),f(y_{n_{k}}))\geq \varepsilon _{0}}
den första delen ger att
x
0
=
y
0
{\displaystyle x_{0}=y_{0}}
f
(
x
0
)
≠
f
(
y
0
)
{\displaystyle f(x_{0})\neq f(y_{0})}
