Hermitepolynom

Hermitepolynomen, uppkallade efter franske 1800-talsmatematikern Charles Hermite, är en uppsättning ortogonala polynom hemmahörande i Hilbertrummet $L^2_{e^{x^2}}(\mathbb{R})$. De betecknas H_n(x), där n är gradtalet. Med Rodrigues formel kan man generera det n-te polynomet.

$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})$

Hermitepolynomen är även lösningen till ett Sturm-Liouville-problem, nämligen

$y''-2xy'+2ny=0$

De elva första Hermitepolynomen är:

$H_0(x)=1$

$H_1(x)=2x$

$H_2(x)=4x^2-2$

$H_3(x)=8x^3-12x$

$H_4(x)=16x^4-48x^2+12$

$H_5(x)=32x^5-160x^3+120x$

$H_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120$

$H_7(x)=128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x$

$H_8(x)=256x^8-3584x^6+13440x^4-13440x^2+1680$

$H_9(x)=512x^9-9216x^7+48384x^5-80640x^3+30240x$

$H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^8+161280x^6-403200x^4+302400x^2-30240$