Konvergensradie

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Konvergensradien är inom matematiken ett tal tillhörande en potensserie som definiererar området där potensserien konvergerar. Konvergensradien är antingen ett icke-negativt reellt tal eller ∞.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Givet en potensserie

 \sum_{k=0}^\infty a_k x^k

Är konvergensradien det största talet R sådant att serien konvergerar för alla x inom det området.

Det finns tre olika fall för hur konvergensradien kan se ut:

  1. Serien konvergerar endast då x = 0
  2. Serien är absolutkonvergent för alla x
  3. Det finns ett tal R > 0 så att serien är absolutkonvergent då |x| < R och är divergergent då |x| > R

I fall 1 är konvergensradien R = 0 och i fall 2 säger man att konvergensradien R = ∞

Beräkning av konvergensradien[redigera | redigera wikitext]

Det finns två sätt att beräkna konvergensradien

Cauchys rotkriterium

 C = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_k x^{n}|}  = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_k|} |x^{n}|

Potensserien konvergerar om C < 1 och C > 1

Konvergensradien R ges då av

 \frac{1}{R} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_k|} \quad \Leftrightarrow \quad R = \frac{1}{\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_k|}}

d'Alemberts kvotkriterium

 C = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_{k+1} (x)^{n+1}|}{|a_k (x)^n|} = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_{k+1}|}{|a_k|} |x|

Potensserien konvergerar om C < 1 och C > 1

 \frac{1}{R} = \lim_{n\to\infty}\ \frac{|a_{k+1}|}{|a_k|} \quad \Leftrightarrow \quad R = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_k|}{|a_{k+1}|}

Notera

Serien är absolutkonvergent för  |x| < R och divergent för  |x| > R \

Det säger inget om  |x| = R

Man får testa om serien konvergerar då  |x| = R genom att sätta in  \pm x i serien.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Beräkna konvergensradien för : \sum_{n=0}^\infty \frac{4x^n}{7^n}

Vi använder d'Alemberts kvotkriterium

 lim_{n\to\infty} \left| \frac{ \frac{4x^{n+1}}{7^{n+1}}}{ \frac{4x^n}{7^n}} \right| = lim_{n\to\infty} \frac{|x|}{7} = \frac{|x|}{7} < 1 \ |x| < 7

Vi säger då att konvergensradien är lika med 7

Komplex analys[redigera | redigera wikitext]

Där kan man se det som att man ersätter  x med  (z-z_0)

\sum _{k=0} ^\infty a_k (z-z_0)^k

där z_0 är en konstant, då är konvergensradien det största tal R sådant att serien konvergerar för alla z \in \mathbb{C}\ sådana att |z-z_0|<R. Området |z-z_0|<R kallas potensseriens konvergensskiva.

 z är avståndet till  z_0 och  |z-z_0| < R ger mängden punkter innanför cirkeln med radie R i det komplexa talplanet med medelpunkt  z_0

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Konvergensradie används inom många områden. Ett exempel är inom Transformteori där man räknar med Z-transform.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Folke Eriksson , Eric Larsson, Gösta Wahde : ”Matematisk analys med tillämpningar”, Göteborg 2009.
  • Göran Forsling , Mats Neymark : "Matematisk analys En Variabel"
  • Brown, James; Churchill, Ruel (1989), Complex variables and applications, New York