Konvergensradie

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Konvergensradien är inom matematiken ett tal tillhörande en potensserie som definiererar området där potensserien konvergerar.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Givet en potensserie

\sum _{k=0} ^\infty a_k (z-z_o)^k

där z_0 är en konstant, är konvergensradien det största tal R sådant att serien konvergerar för alla z \in \mathbb{C}\ sådana att |z-z_0|<R. Området |z-z_0|<R kallas potensseriens konvergensskiva. Om serien konvergerar för alla z \in \C sägs konvergensradien vara oändligheten, ∞.

Det finns tre fall för hur konvergensradien kan se ut:

  1. Serien konvergerar endast då  z-z_0=0
  2. Serien är absolutkonvergent för alla  z-z_0
  3. Det finns ett tal R>0 så att serien konvergerar (absolut) då  |z-z_0|<R och divergerar då |z-z_0|>R

För att avgöra konvergensradien får man ta hjälp av kvotkriteriet eller rotkriteriet. Dessa kan inte avgöra huruvida serien konvergerar för  z-z_0=R
eller  z-z_0=-R. Dessa specialfall utgör då en vanlig numerisk serie som man får undersöka med andra konvergensvillkor.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Folke Eriksson , Eric Larsson, Gösta Wahde : ”Matematisk analys med tillämpningar”, Göteborg 2009.