Konvergensradie

Konvergensradien för en potensserie är radien för den största cirkelskiva för vilken serien är konvergent. Den är endera ett icke-negativt reellt tal eller ∞. När radien är positiv är potensserien absolutkonvergent innanför den öppna cirkelskivan bestämd av konvergensradien och divergent utanför denna radie.

Definition

För en potensserie ƒ definierad som

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n},$

där

a är en komplex konstant, positionen av konvergensskivans medelpunkt,

c_n är den n^te komplexa koefficienten, och

z är en komplex variabel

Konvergensradien r är ett icke-negativt reellt tal eller = ∞ sådant att serien konvergerar om

$|z-a|<r$

och divergerar om

$|z-a|>r$

I enlighet med denna definition gäller

$r=\sup \left\{|z-a|\ \left|\ \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\ {\text{ konvergerar }}\right.\right\}$

Med andra ord, serien konvergerar om z är tillräckligt nära centrum och divergerar om z är tillräckligt avlägset. Konvergensradien anger vad som är tillräckligt nära. På gränsen, det vill säga där |z − a| = r, kan potensserien uppvisa ett komplicerat beteende och konvergera för vissa värden av z och divergera för andra. Konvergensradien sägs vara oändlig om serien konvergerar för alla z.

Beräkning av konvergensradie

Vanliga konvergenskriterier

Cauchys rotkriterium

Om serien $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ har egenskapen att $|a_{k}|^{\frac {1}{k}}\rightarrow A$ då $k\rightarrow \infty$ där, $0\leq A\leq \infty$,

är serien absolutkonvergent om 0 < A < 1 och divergent om 1 < A ≤ ∞.

d'Alemberts kvotkriterium

Om serien $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ har nollskilda termer och ${\frac {|a_{k+1}|}{|a_{k}|}}\rightarrow A$ då $k\rightarrow \infty$ där $0\leq A\leq \infty$,

är serien absolutkonvergent om 0 < A < 1 och divergent om 1 < A ≤ ∞.

Exempel 1

Bestäm konvergensradien och för vilka värden potensserien

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\sqrt {k}}}$

konvergerar. Om

$a_{k}={\frac {x^{k}}{\sqrt {k}}}$

så gäller för alla nollskilda x att

${\frac {|a_{k+1}|}{|a_{k}|}}={\frac {|x|^{k+1}}{\sqrt {k+1}}}{\frac {\sqrt {k}}{|x|^{k}}}={\sqrt {\cfrac {k}{k+1}}}|x|\rightarrow |x|;\quad k\rightarrow \infty$

Enligt d'Alemberts kvotkriterium är serien absolutkonvergent om |x| < 1 och divergent om |x| > 1 (således är konvergensradien 1). Återstår fallet då |x| är lika med konvergensradien, det vill säga då x = ±1: för x = 1 blir serien

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {k}}}$

som är divergent. Om x = -1 blir serien

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{\sqrt {k}}}$

som är konvergent enligt Leibniz' konvergenskriterium.

Exempel 2

Bestäm konvergensradien för serien

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n^{n}}}$

$a_{n}={\frac {x^{n}}{n^{n}}}\quad \Rightarrow \quad |a_{n}|^{1/n}={\frac {|x|}{n}}\rightarrow 0;\quad n\rightarrow \infty$

för alla x och enligt Cauchys rotkriterium är serien absolutkonvergent med konvergensradien ∞.

Referenser

• Folke Eriksson , Eric Larsson, Gösta Wahde : ”Matematisk analys med tillämpningar”, Göteborg 2009.
• Göran Forsling , Mats Neymark : "Matematisk analys En Variabel"
• Brown, James; Churchill, Ruel (1989), Complex variables and applications, New York