Konvergensradie

Konvergensradien är inom matematiken ett tal tillhörande en potensserie som definiererar området där potensserien konvergerar.

Definition

Givet en potensserie

$\sum _{k=0} ^\infty a_k (z-z_o)^k$

där $z_0$ är en konstant, är konvergensradien det största tal $R$ sådant att serien konvergerar för alla $z \in \mathbb{C}\$ sådana att $|z-z_0|<R$. Området $|z-z_0|<R$ kallas potensseriens konvergensskiva. Om serien konvergerar för alla $z \in \C$ sägs konvergensradien vara oändligheten, ∞.

Det finns tre fall för hur konvergensradien kan se ut:

1. Serien konvergerar endast då $z-z_0=0$
2. Serien är absolutkonvergent för alla $z-z_0$
3. Det finns ett tal $R>0$ så att serien konvergerar (absolut) då $|z-z_0|<R$ och divergerar då $|z-z_0|>R$

För att avgöra konvergensradien får man ta hjälp av kvotkriteriet eller rotkriteriet. Dessa kan inte avgöra huruvida serien konvergerar för $z-z_0=R$ eller $z-z_0=-R$. Dessa specialfall utgör då en vanlig numerisk serie som man får undersöka med andra konvergensvillkor.

Referenser

• Folke Eriksson , Eric Larsson, Gösta Wahde : ”Matematisk analys med tillämpningar”, Göteborg 2009.