Konvergens (matematik)

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Konvergens är inom matematik en egenskap hos vissa talföljder, det vill säga sekvenser av tal x_i. Dessa är konvergenta om de närmar sig ett fixt tal x. Med att en summa är konvergent menas att följden av dess partialsummor är konvergent.

Formellt är en följd  \{x_i\}_{i \in \mathbb{N}} i ett metriskt rum X konvergent om det finns ett element x i rummet X sådant att

För varje \epsilon >0 så finns N\in \mathbb N så att om i>N så gäller

d(x_i,x) < \epsilon .

I ett allmänt topologiskt rum X sägs följden  \{x_i\}_{i \in \mathbb{N}} konvergera mot x, om det för varje omgivning U till x gäller att  X \setminus U endast innehåller ändligt många element från följden ovan.

Motsatsen är att följden är divergent.

I ett fullständigt metriskt rum är alla Cauchy-följder konvergenta. Stolz-Cesàros sats kan användas för att avgöra om en serie är konvergent.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

  1. I R är talföljden 1, 1/2, 1/4, 1/8, ... konvergent, och den konvergerar mot 0. Talföljden 1, 1+1/2, 1+1/2+1/4, ... konvergerar även den, i detta fallet mot 2.
  2. I rummet av alla reella tal större än (eller lika med) 0, konvergerar följden 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... mot 0. Däremot är följden 1, 1+1/2, 1+1/2+1/3, ..., den harmoniska serien, divergent och växer mot oändligheten.

Funktionsföljder[redigera | redigera wikitext]

Man kan också betrakta konvergens av en följd av funktioner f_{n} definierade på något intervall, I, av de reella talen eller allmänt en godtycklig mängd. Man säger att f_{n} konvergerar punktvis till f om  \lim_{n \to \infty} f_{n}(x) = f(x) för alla  x i  I.

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.