Leibnizserie

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En Leibnizserie är en serie med egenskapen att elementen har omväxlande positivt och negativt tecken, är avtagande och konvergerar mot noll.

Formell definition[redigera | redigera wikitext]

En serie \sum_{k=0}^n a_k säges vara en Leibnizserie om följande villkor är uppfyllda:

Följden  a_n växlar tecken:

|a_n|=(-1)^n a_n \forall n \geq 0 eller |a_n|=(-1)^{n+1} a_n \forall n \geq 0

Följden är minskande:

|a_{n+1}| \leq |a_n| ~~ \forall n \geq 0

Följden går mot noll:

\lim _{n \rightarrow \infty} a_n = 0

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Om summan av en följd a_n uppfyller kraven ovan så konvergerar

\sum _{n=0} ^\infty a_n.

Detta uttrycks ibland som Leibniz kriterium; om en serie uppfyller kraven för en Leibnizserie så konvergerar den.

Stoleken på delsummorna i en Leibnizserie kan uppskattas med:

\left|\sum_{k=0}^\infty  a_k - \sum _{k=0}^n a_k\right| \leq |a_{n+1}|.

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Leibniz kriterium används för att påvisa konvergens för serier med växlande tecken, något som ofta även kan göras genom att visa serien är absolutkonvergent, dock finns vissa serier som är betingat konvergenta där Leibniz kriterium visar att serierna är konvergenta. Exempelvis serien

\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k}}{k}

är inte absolutkonvergent, då serien

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}

är divergent. Leibniz kriterium ger dock att den första serien konvergerar, då

a_n=\frac{(-1)^{n}}{n}

uppfyller alla krav för att serien ska vara en Leibnizserie.

Se även[redigera | redigera wikitext]