Leibnizserie

En Leibnizserie är en serie med egenskapen att elementen har omväxlande positivt och negativt tecken, är avtagande och konvergerar mot noll.

Formell definition

En serie $\sum _{k=0}^{n}a_{k}$ säges vara en Leibnizserie om följande villkor är uppfyllda:

Följden $a_{n}$ växlar tecken:

$a_{n}=(-1)^{n}|a_{n}|~~\forall n\geq 0$ eller $a_{n}=(-1)^{n+1}|a_{n}|~~\forall n\geq 0$

Följden är minskande:

$|a_{n+1}|\leq |a_{n}|~~\forall n\geq 0$

Följden går mot noll:

$\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$

Egenskaper

Om summan av en följd $a_{n}$ uppfyller kraven ovan så konvergerar

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$

Detta uttrycks ibland som Leibniz kriterium; om en serie uppfyller kraven för en Leibnizserie så konvergerar den.

Stoleken på delsummorna i en Leibnizserie kan uppskattas med:

$\left|\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}-\sum _{k=0}^{n}a_{k}\right|\leq |a_{n+1}|$.

Tillämpningar

Leibniz kriterium används för att påvisa konvergens för serier med växlande tecken, något som ofta även kan göras genom att visa serien är absolutkonvergent, dock finns vissa serier som är betingat konvergenta där Leibniz kriterium visar att serierna är konvergenta. Exempelvis serien

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}$

är inte absolutkonvergent, då serien

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}$

är divergent. Leibniz kriterium ger dock att den första serien konvergerar, då

$a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{n}}$

uppfyller alla krav för att serien ska vara en Leibnizserie.

Se även

• Dirichlets test