Liealgebra

Från Wikipedia
(Omdirigerad från Lie-algebra)
Hoppa till: navigering, sök

En Liealgebra är en algebraisk struktur, vars största användningsområde är studiet av geometriska objekt såsom Liegrupper och differentierbara mångfalder.

Begreppet "Liealgebra" (döpt efter Sophus Lie, uttalat "li") infördes av Hermann Weyl under 1930-talet. I äldre texter används begreppet infinitesimal grupp.

Definition[redigera | redigera wikitext]

En liealgebra är en viss sorts algebra över en kropp; den är ett vektorrum g över någon kropp K tillsammans med en binär operation [·, ·] : g × gg, som kallas liebracket, vilken uppfyller följande villkor:

 [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], \quad  [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y]
för alla a, b  \in K och alla x, y, z  \in g.
  • Egenskap 2: För alla x  \in g gäller:
 [x,x]=0 \,
 [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0 \quad
för alla x, y, z  \in g.

Observera att första och andra egenskapen medför att

 [x,y] = -[y,x] \,

för alla x, y  \in g ("antisymmetri"). Å andra sidan medför antisymmetri egenskap nummer 2 om det gäller att kroppen K inte är av karaktäristik 2. En liealgebra med andra egenskapen utbytt mot antisymmetri kallas för en kvasiliealgebra.

Observera också att multiplikationen som ges av liebracketen inte i allmänhet är associativ, dvs, [[x ,  y ],  z ] behöver inte vara lika med [x, [y, z]]. Därför är Liealgebror inte ringar eller associativa ringar i den vanliga meningen.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Ett konkret exempel på en Liealgebra är  \mathbb{R}^3 med vektorprodukt som bracketoperation. Även algebran av nxn-matriser är en Liealgebra med kommutatoroperationen  [A,B] = AB - BA som bracketoperation. Mer allmänt gäller att varje associativ algebra blir en Liealgebra under kommutatoroperationen.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.