Algebra över en kropp

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En algebra över en kropp är inom matematik en algebraisk struktur, mer specifikt ett vektorrum med en operation som liknar multiplikation.

Definition[redigera | redigera wikitext]

En algebra  A över en kropp  K är ett vektorrum  A där det för varje par av element  x,y \in A finns en unik produkt  xy \in A med egenskaperna:

  • x(y+z) = xy + xz\,
  • (x+y)z = xz + yz\,
  • \alpha(xy) = (\alpha x)y = x (\alpha y)\,

för  x,y,z \in A och \alpha \in K .

 A sägs vara en associativ algebra om

 x(yz) = (xy)z \,

och en kommutativ algebra eller abelsk algebra om

xy = yx \,.

 A kallas för algebra med neutralt element om det finns ett  e \in A så att

 ex = xe = x \,.

Om  A har ett neutralt element är den unik. För om man antar att det finns två neutrala element,  e och  e' , får man att

  •  ee' = e eftersom  e' är ett neutralt element.
  •  ee' = e' eftersom  e är ett neutralt element.

Alltså är  e = e' .

En associativ algebra  A kallas för en normerad algebra om den är ett normerat rum som uppfyller

  •  \|xy\| \leq \|x\|\|y\| för alla  x, y \in A
  •  \|e\| = 1 om  A har ett neutralt element  e .

En normerad algebra kallas för Banachalgebra, uppkallad efter Stefan Banach, om den är fullständig betraktad som ett normerat rum.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Tredimensionellt euklidiskt rum[redigera | redigera wikitext]

Inre produktrummet \mathbb{R}^3 med kryssprodukten införd är en algebra över kroppen av reella tal.

Matrisrum[redigera | redigera wikitext]

Rummet av alla komplexa (eller reella) kvadratiska matriser med  n rader är en icke-kommutativ associativ algebra med enhetsmatrisen som neutralt element. Genom att införa en matrisnorm blir algebran en Banachalgebra.

Funktionsrum[redigera | redigera wikitext]

Rummet C[a,b] av alla kontinuerliga funktioner på intervallet [a,b] är en Banachalgebra med operationen

 (xy)(t) = x(t)y(t) \, för alla  x(t), y(t) \in C[a, b]

 C[a,b] har det neutrala elementet 1 och normen

 \|x\| = \max_{t \in [a,b]} x(t).

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]