Algebra över en kropp

Från Wikipedia

Hoppa till: navigering, sök

En algebra över en kropp är inom matematik en algebraisk struktur, mer specifikt ett vektorrum med en operation som liknar multiplikation.

Innehåll

[redigera] Definition

En algebra A över en kropp K är ett vektorrum A där det för varje par av element x,y \in A finns en unik produkt xy \in A med egenskaperna:

  • x(y+z) = xy + xz\,
  • (x+y)z = xz + yz\,
  • \alpha(xy) = (\alpha x)y = x (\alpha y)\,

för x,y,z \in A och \alpha \in K .

A sägs vara en associativ algebra om

x(yz) = (xy)z \,

och en kommutativ algebra eller abelsk algebra om

xy = yx \,.

A kallas för algebra med neutralt element om det finns ett e \in A så att

ex = xe = x \,.

Om A har ett neutralt element är den unik. För om man antar att det finns två neutrala element, e och e', får man att

  • ee' = e eftersom e' är ett neutralt element.
  • ee' = e' eftersom e är ett neutralt element.

Alltså är e = e'.

En associativ algebra A kallas för en normerad algebra om den är ett normerat rum som uppfyller

  • \|xy\| \leq \|x\|\|y\| för alla x, y \in A
  • \|e\| = 1 om A har ett neutralt element e.

En normerad algebra kallas för Banachalgebra, uppkallad efter Stefan Banach, om den är komplett betraktad som ett normerat rum.

[redigera] Exempel

[redigera] Tredimensionellt euklidiskt rum

Inre produktrummet \mathbb{R}^3 med kryssprodukten införd är en algebra över kroppen av reella tal.

[redigera] Matrisrum

Rummet av alla komplexa (eller reella) kvadratiska matriser med n rader är en ickekommutativ associativ algebra med enhetsmatrisen som neutralt element. Genom att införa en matrisnorm blir algebran en Banachalgebra.

[redigera] Funktionsrum

Rummet C[a,b] av alla kontinuerliga funktioner på intervallet [a,b] är en Banachalgebra med operationen

(xy)(t) = x(t)y(t) \, för alla x(t), y(t) \in C[a, b]

C[a,b] har det neutrala elementet 1 och normen

\|x\| = \max_{t \in [a,b]} x(t).
Hämtad från "http://sv.wikipedia.org/wiki/Algebra_%C3%B6ver_en_kropp"
Personliga verktyg
Skapa en bok