Momentgenererande funktion

Den momentgenererande funktionen (ofta förkortat mgf) för en stokastisk variabel X definieras som $\psi _X (t)=E[e^{tX}]$, om det finns ett h så att väntevärdet existerar och är ändligt för $|t|<h$.

Momentgenererande funktioner räknas ut olika beroende på om X är en kontinuerlig eller diskret stokastisk variabel, eftersom väntevärden räknas ut olika. Man får att:

$E[e^{tX}] = \begin{cases} \sum_i e^{it}p_X(i) & X ~ \textrm{diskret} \\ \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f_X(x) dx & X ~ \textrm{kontinuerlig} \end{cases}$

där f_X är X:s täthetsfunktion.

Egenskaper

Den momentgenererande funktionen bestämmer unikt fördelningen för stokastiska variabler. Så om två momentgenererande funktioner är lika, $\psi_X (t)=\psi_Y (t)$, så har de två stokastiska variablerna, $X$ och $Y$, lika fördelning.

Man kan visa att om $\psi_X (t)$ existerar för $|t|<h$ och något $h>0$ gäller

• $E[X]^r<\infty, ~ \forall r>0$
• Det n:te momentet till X kan beräknas med:

$E[X^n] = \left. \frac{d^n \psi_X(t)}{dt^n} \right|_{t=0}$

• Om Y = aX + b så är

$\psi_Y(t) = e^{tb} \psi_X(at).\,$

• Om X och Y är oberoende stokastiska variabler med momentgenererande funktioner $\psi_X$ och $\psi_Y$ så har den stokastiska variabeln W = X + Y den momentgenerernade funktionen

$\psi_W(t) = \psi_X(t)\psi_Y(t).\,$

Referenser

• Blom, Gunnar (1984). Sannolikhetsteori med tillämpningar. Studentlitteratur. ISBN 91-44-04372-4 
• Yates, Roy; David Goodman (2005). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-27214-4