Momentgenererande funktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Den momentgenererande funktionen (ofta förkortat mgf) för en stokastisk variabel X definieras som \psi _X (t)=E[e^{tX}], om det finns ett h så att väntevärdet existerar och är ändligt för |t|<h.

Momentgenererande funktioner räknas ut olika beroende på om X är en kontinuerlig eller diskret stokastisk variabel, eftersom väntevärden räknas ut olika. Man får att:


E[e^{tX}] =
\begin{cases}
\sum_i e^{it}p_X(i) & X ~ \textrm{diskret} \\
\int_{-\infty}^\infty e^{tx} f_X(x) dx & X ~ \textrm{kontinuerlig}
\end{cases}

där fX är X:s täthetsfunktion.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Den momentgenererande funktionen bestämmer unikt fördelningen för stokastiska variabler. Så om två momentgenererande funktioner är lika, \psi_X (t)=\psi_Y (t), så har de två stokastiska variablerna, X och Y, lika fördelning.

Man kan visa att om \psi_X (t) existerar för |t|<h och något h>0 gäller

  • E[X]^r<\infty, ~ \forall r>0
  • Det n:te momentet till X kan beräknas med:
E[X^n] = \left. \frac{d^n \psi_X(t)}{dt^n} \right|_{t=0}
  • Om Y = aX + b så är
\psi_Y(t) = e^{tb} \psi_X(at).\,
  • Om X och Y är oberoende stokastiska variabler med momentgenererande funktioner \psi_X och \psi_Y så har den stokastiska variabeln W = X + Y den momentgenerernade funktionen
\psi_W(t) = \psi_X(t)\psi_Y(t).\,

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Blom, Gunnar (1984). Sannolikhetsteori med tillämpningar. Studentlitteratur. ISBN 91-44-04372-4 
  • Yates, Roy; David Goodman (2005). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-27214-4 
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.