Produktmått

Produktmått är inom matematiken en typ av mått som är en produkt av andra mått.

Produkt-sigma-algebra

Låt $(X_{i},{\mathcal {F}}_{i})$, $i\in I\,$, vara en familj av mätbara rum. Indexmängden $I\,$ kan vara en godtycklig mängd - även ouppräknelig. Låt X vara en cartesisk produkt av mängderna $X_{i}\,$, dvs

$X:=\prod _{i\in I}X_{i}=\{(x_{i})_{i\in I}:x_{i}\in X_{i},\ i\in I\}.\,$

En mängd $A\subset X\,$ är en kon om det finns en ändlig mängd $K_{A}\subset I\,$ och mängder $A_{k}\subset X_{k}\,$, $k\in K_{A}\,$, så att

$A=\{(x_{i})_{i\in I}\in X:x_{k}\in A_{k},\ k\in K_{A}\}.$

Med andra ord är konen en produkt:

$A=\prod _{i\in I}Y_{i}$

där

$Y_{i}:={\begin{cases}A_{i},&i\in K_{A},\\X_{i},&i\notin K_{A}.\end{cases}}$

d.v.s. bara ett ändlig antal av $Y_{i}\,$ är icke-$X_{i}\,$.

En kon $A=\{(x_{i})_{i\in I}\in X:x_{k}\in A_{k},\ k\in K_{A}\}$ är en mätbar kon om

$A_{k}\in {\mathcal {F}}_{k}\,$

för alla $k\in K_{A}\,$.

Låt ${\mathcal {K}}\,$ vara en familj av alla mätbara koner.

En produkt-sigma-algebra, ${\mathcal {F}}$, är en sigma-algebra genererad av alla mätbara koner. Mer precist, en produkt-sigma-algebra är

${\mathcal {F}}:=\prod _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}=\sigma ({\mathcal {K}}).$

Detta innebär att produkt-sigma-algebran är den minsta av de sigma-algebror som har alla mätbara koner som en del av sig.

När $I=\{1,2,...,k\}\,$ är en ändlig mängd betecknas ofta produkt sigma-algebran

${\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}\otimes ...\otimes {\mathcal {F}}_{k}.$

Produktmått

Man definierar produktmåttet med hjälp av mätbara koner.

Låt $(X_{i},{\mathcal {F}}_{i},\mu _{i})$, $i\in I\,$, vara en familj av sigma-ändliga måttrum. Man behöver sigma-ändlighet här eftersom produktmåttet inte är unikt med icke-sigma-ändliga måttrum.

För en kon

$A=\{(x_{i})_{i\in I}\in X:x_{k}\in A_{k},\ k\in K_{A}\}.$

definiera ett "mått"

$\tau (A):=\prod _{k\in K_{A}}\mu _{k}(A_{k}).\,$

Den här funktionen $\tau :{\mathcal {K}}\rightarrow [0,\infty ]\,$ är sigma-additiv och $\tau (\varnothing )=0\,$. Tyvärr är det inte ett mått eftersom mätbara koner ${\mathcal {K}}\,$ inte bildar en sigma-algebra.

Å andra sidan det går att visa att ${\mathcal {K}}\,$ bildar en algebra, dvs

• $X\in {\mathcal {K}},\,$
• $A\in {\mathcal {K}}\Rightarrow X\setminus A\in {\mathcal {K}}\,$ och
• $A,B\in {\mathcal {K}}\Rightarrow A\cup B\in {\mathcal {K}}\,$.

Dessutom är produkt sigma-algebran genererad av en algebra ${\mathcal {K}}\,$. Därför, med Carathéodorys utvidgningsats, innebär detta att det finns en unik utvidgning, $\mu :{\mathcal {F}}\rightarrow [0,\infty ]\,$, för funktionen $\tau \,$ som är ett mått, som kallas produktmåttet. Det är ofta betecknat

$\mu :=\prod _{i\in I}\mu _{i},$

så att en trippel

$(X,{\mathcal {F}},\mu )=\left(\ \prod _{i\in I}X_{i}\ ,\ \prod _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}\ ,\ \prod _{i\in I}\mu _{i}\ \right)$

är ett måttrum.

När $I=\{1,2,...,k\}\,$ är en ändlig mängd går det ofta att beteckna produktmåttet

$\mu _{1}\times \mu _{2}\times ...\times \mu _{k}.$

Exempel

Lebesguemåttet i $\mathbb {R} ^{n}$, när $n\geq 2\,$, är inte ett produktmått. Intuitionen sägar att

${\mathcal {L}}_{n}={\mathcal {L}}_{1}\times ...\times {\mathcal {L}}_{1}$

men det är inte så för alla Lebesguemätbara mängder. Till exempel låt $n=2\,$ och $N\subset \mathbb {R}$ vara en icke-Lebesguemätbar mängd. Så att mängden

$A:=\{0\}\times N$

är ${\mathcal {L}}_{2}$-mätbar eftersom

${\mathcal {L}}_{2}(A)=0\,$.

Å andra sidan det är icke ${\mathcal {L}}_{1}\times {\mathcal {L}}_{1}$-mätbar eftersom

$A\notin [{\mbox{Leb}}\,\mathbb {R} ]\otimes [{\mbox{Leb}}\,\mathbb {R} ]$ .

Så att

${\mathcal {L}}_{2}\neq {\mathcal {L}}_{1}\times {\mathcal {L}}_{1}.$

Å andra sidan är Lebesguemåttet produktmåttet när man bara använder Borelmängder. Det går att visa att

${\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ^{n}=[{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ]\otimes [{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ]\otimes ...\otimes [{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ],$

och för alla $[{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ]$-mätbara koner $A\subset \mathbb {R} ^{n}$

${\mathcal {L}}_{n}(A)=({\mathcal {L}}_{1}\times {\mathcal {L}}_{1}\times ...\times {\mathcal {L}}_{1})(A)$.

Så att

${\mathcal {L}}_{n}|{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ^{n}=[{\mathcal {L}}_{1}|{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ]\times [{\mathcal {L}}_{1}|{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ]\times ...\times [{\mathcal {L}}_{1}|{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ],$

eftersom produktmåttet är en unik utvidgning.

Fubinis sats

En viktig tillämpning för produktmåttet är Fubinis sats. Det sägar att man kan ändra integrerordningen. Låt $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ och $(Y,{\mathcal {G}},\nu )$ vara sigma-ändliga måttrum och $\mu \times \nu \,$ vara produktmåttet.

Fubinis sats säger att om $f:X\times Y\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ är integrerbar med avseende på produktmåttet $\mu \times \nu \,$, dvs

$\int |f|\,d(\mu \times \nu )<\infty ,$

så är

$\int f\,d(\mu \times \nu )=\iint f(x,y)\,d\mu (x)\,d\nu (y)=\iint f(x,y)\,d\nu (y)\,d\mu (x).$

Se även

• Mått
• Integral
• Måttintegral

Referenser

• P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950.