Cartesisk produkt

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Den cartesiska eller kartesiska produkten eller mängdprodukten av två mängder A och B är mängden av alla ordnade par (a, b) vars första element a tillhör A och vars andra element b tillhör B. Produkten av A och B skrivs A × B, så definitionen kan sammanfattas

A \times B = \{ (a,b) : a \in A \and b \in B\}.

Mängdprodukten kallas "cartesisk" efter Renatus Cartesius, den latinska översättningen av René Descartes. Descartes införde nämligen de så kallade kartesiska koordinaterna, som i sin tur har inspirerat den mängdteoretiska definitionen. Om P är en punkt i ett plan med ett koordinatsystem, så kan P entydigt beskrivas med hjälp av sin "x-koordinat" och sin "y-koordinat". Punkten kan alltså representeras av ett ordnat par (a,b) av reella tal, där a och b är x-koordinaten respektive y-koordinaten. Mot varje punkt i planet svarar precis ett sådant par, och tvärtom. Mängden av alla möjliga sådana par av kartesiska koordinater för punkter i planet är just det som nu för tiden kallas den cartesiska produkten R × R eller R2.

Man kan också bilda cartesiska produkter av ett större antal mängder. Produkten A × B × C av de tre mängderna A, B och C består av alla trippler (a,b,c), där a ∈ A, b ∈ B och c ∈ C. Allmänt gäller att om (Mi)iI är en familj av mängder över en indexmängd av godtycklig storlek, så definieras den cartesiska produkten av denna familj genom

\prod_{i\in I} M_i = \{ (x_i)_{i\in I} : x_i \in M_i \hbox{ för } i\in I\}.

När indexmängden består av de n första positiva heltalen, alltså I = { 1, 2, ..., n}, så skrivs produkten hellre som

\prod_{i=1}^n M_i = M_1 \times \ldots \times M_n = \{ (x_1,\ldots,x_n) : x_i \in M_i \hbox{ för } i = 1,\ldots,n \}.

Formellt sett torde till exempel A × B × C, (A × B) × C och A × (B × C) vara olika mängder, eftersom oftast (a,b,c), ((a,b),c) och (a,(b,c)) definieras på ett sådant sätt att de är olika. I praktiken behandlar man dock i allmänhet dessa som samma mängd genom att man identifierar trippeln och de två "blandade" paren.

Produkten A × A kan också skrivas A2, A × A × A skrivs också A3, och så vidare. En vanlig tillämpning är beteckningen för reella talplanet, \mathbb{R}^2 eller R2.

Exempel:

  • {1, 3, π} × {2, 17} = {(1, 2), (1, 17), (3, 2), (3, 17), (π, 2), (π, 17)}

Projektioner på koordinater.[redigera | redigera wikitext]

Man kan tolka den kartesiska "x-koordinaten" för en punkt P i planet som ett tal som beskriver den vinkelräta projektionen av punkten på x-axeln. Denna geometriska idé har generaliserats till allmänna cartesiska produkter. För en produkt över en indexmängd I och ett element i i I definierar man projektionen på den i:te koordinaten som funktionen

\pi_i : \prod_{i\in I} M_i \rightarrow M_i \hbox { given av } \pi_i \bigl( (x_i)_{i\in I} \bigr) = x_i.

Denna projektion "plockar ut" den koordinat som hade indexet i. I exemplet ovan är π2((3,17)) = 17. Projektioner betecknas också på många andra sätt än just med bokstaven π med index.

Det finns alltså en projektion för varje index, så att man för en cartesisk produkt över en indexmängd I får en hel familj (πi)iI av projektioner, över samma indexmängd.

Tolkning som direkta produkter.[redigera | redigera wikitext]

Den cartesiska produkten ΠI Mi av en familj (Mi)I = (Mi)iI av mängder har tillsammans med motsvarande familj (πi)I = (πi)iI en viss abstrakt kategoriteoretisk universell egenskap, som beskrivs nedan, i kategorin av mängder. Objekt och familjer av morfismer med denna egenskap kallas på kategoriteoretiskt språk för direkta produkter. Därför är cartesiska produkter direkta produkter i kategorin av mängder (med vanliga mängdteoretiska funktioner som morfismer).

Mängden ΠI Mi och funktionsfamiljen (πi)I har följande universella egenskap: För varje mängd N och familj (fi)I  av funktioner, där fi går från N till Mi för varje index i, så finns en och endast en funktion g:N→ΠI Mi, sådan att det för varje index i gäller att πi = fiog. Det visar sig att detta unika g ges av att

g(x) = \bigl( f_i(x) \bigr)_{i \in I} \hbox{ för varje } x \in N.

I många konkreta kategorier bildas direkta produkter som cartesiska produkter som "ärver" sina strukturer från faktorerna, och projektionerna är desamma som för vanliga mängdprodukter. Om till exempel V och W är två linjära rum, så kan den direkta produkten av dem beskrivas som den kartesiska produkten V &times:&W med komponentvisa operationer, vilket betyder att

(\mathbf v,\mathbf w) + (\mathbf {v'},\mathbf {w'}) = (\mathbf v+\mathbf {v'},\mathbf w+\mathbf {w'}) \hbox{ och } a(\mathbf v,\mathbf w) = (a\mathbf v, a\mathbf w),

för alla vektorer v och v'' i V, w och w' i W, och skalärer a.

Cartesisk produkt av funktioner.[redigera | redigera wikitext]

Om f är en funktion från A till B och g är en funktion från X till Y, så definieras deras cartesiska produkt f×g som den funktion från A×X till B×Y som uppfyller

(f\times g)(a, x) = (f(a), g(x))

Precis som för mängder kan detta utvidgas till godtyckliga familjer av funktioner.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]