Enhetscirkeln Trigonometriska ettan är ett trigonometriskt samband som erhålls om Pythagoras sats tillämpas på enhetscirkeln (figur 1):[ 1]
sin
2
t
+
cos
2
t
=
1
.
{\displaystyle \sin ^{2}t+\cos ^{2}t=1\,.}
Sambanden mellan kvadraterna på sinus, cosinus, tangens och cotangens för en vinkel [ redigera | redigera wikitext ] Omstrukturerad ger trigonometriska ettan de mycket användbara:
sin
2
t
=
1
−
cos
2
t
{\displaystyle \sin ^{2}t=1-\cos ^{2}t}
cos
2
t
=
1
−
sin
2
t
{\displaystyle \cos ^{2}t=1-\sin ^{2}t}
vilka genom division med
cos
2
t
{\displaystyle \cos ^{2}t}
[ 2]
sin
2
t
=
tan
2
t
1
+
tan
2
t
{\displaystyle \sin ^{2}t={\frac {\tan ^{2}t}{1+\tan ^{2}t}}}
cos
2
t
=
1
1
+
tan
2
t
{\displaystyle \cos ^{2}t={\frac {1}{1+\tan ^{2}t}}}
medan division med
sin
2
t
{\displaystyle \sin ^{2}t}
sin
2
t
=
1
1
+
cot
2
t
{\displaystyle \sin ^{2}t={\frac {1}{1+\cot ^{2}t}}}
cos
2
t
=
cot
2
t
1
+
cot
2
t
{\displaystyle \cos ^{2}t={\frac {\cot ^{2}t}{1+\cot ^{2}t}}}
Och om vi i stället dividerar
sin
2
t
=
1
−
cos
2
t
{\displaystyle \sin ^{2}t=1-\cos ^{2}t}
cos
2
t
=
1
−
sin
2
t
{\displaystyle \cos ^{2}t=1-\sin ^{2}t}
tan
2
t
=
sin
2
t
1
−
sin
2
t
=
1
−
cos
2
t
cos
2
t
{\displaystyle \tan ^{2}t={\frac {\sin ^{2}t}{1-\sin ^{2}t}}={\frac {1-\cos ^{2}t}{\cos ^{2}t}}}
cot
2
t
=
cos
2
t
1
−
cos
2
t
=
1
−
sin
2
t
sin
2
t
{\displaystyle \cot ^{2}t={\frac {\cos ^{2}t}{1-\cos ^{2}t}}={\frac {1-\sin ^{2}t}{\sin ^{2}t}}}
För att göra listan fullständig har vi från definitionerna av tangens och cotangens även:
tan
2
t
=
1
cot
2
t
{\displaystyle \tan ^{2}t={\frac {1}{\cot ^{2}t}}}
cot
2
t
=
1
tan
2
t
{\displaystyle \cot ^{2}t={\frac {1}{\tan ^{2}t}}}
I rätvinkliga trianglar har man följande relationer för en vinkel
x
{\displaystyle x}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
sin
x
=
a
c
{\displaystyle \sin x={\frac {a}{c}}}
cos
x
=
b
c
{\displaystyle \cos x={\frac {b}{c}}}
Av detta följer
sin
2
x
+
cos
2
x
=
a
2
+
b
2
c
2
=
1
{\displaystyle {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1}
Den sista likheten följer av sambandet
a
2
+
b
2
=
c
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
Observera att detta endast bevisar satsen för vinklar mellan 0 och
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
x
{\displaystyle \ x}
−
π
≤
x
≤
π
{\displaystyle -\pi \leq x\leq \pi }
sinus och cosinus är periodiska funktioner), kan man se att
cos
(
x
+
π
2
)
=
−
sin
x
{\displaystyle \cos(x+{\frac {\pi }{2}})=-\sin x}
sin
(
x
+
π
2
)
=
cos
x
{\displaystyle \sin(x+{\frac {\pi }{2}})=\cos x}
Av detta följer
cos
2
(
x
+
π
2
)
=
(
−
sin
(
x
)
)
2
=
sin
2
x
{\displaystyle {\cos }^{2}(x+{\frac {\pi }{2}})=(-\sin(x))^{2}={\sin }^{2}x}
sin
2
(
x
+
π
2
)
=
cos
2
x
{\displaystyle {\sin }^{2}(x+{\frac {\pi }{2}})={\cos }^{2}x}
Vilket visar att sambandet gäller för
0
≤
x
≤
π
{\displaystyle 0\leq x\leq \pi }
cos
(
−
x
)
=
cos
x
{\displaystyle \cos(-x)=\cos x\,}
sin
(
−
x
)
=
−
sin
x
{\displaystyle \sin(-x)=-\sin x\,}
Av vilket följer
cos
2
(
−
x
)
=
cos
2
x
,
{\displaystyle \ {\cos }^{2}(-x)={\cos }^{2}x,}
sin
2
(
−
x
)
=
(
−
sin
(
x
)
)
2
=
sin
x
2
{\displaystyle \ {\sin }^{2}(-x)=(-\sin(x))^{2}={\sin x}^{2}}
Vilket visar att sambandet
sin
2
x
+
cos
2
x
=
1
{\displaystyle {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1\,}
−
π
≤
x
≤
π
{\displaystyle -\pi \leq x\leq \pi }
x
{\displaystyle \ x}
Koordinaterna på enhetscirkeln kan beskrivas med (där
α
{\displaystyle \alpha }
x
=
cos
α
{\displaystyle x=\cos \alpha \,}
y
=
sin
α
{\displaystyle y=\sin \alpha \,}
Dessa koordinater uppfyller även sambandet (cirkelns ekvation ):
x
2
+
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1\,}
Ur detta följer att
sin
2
α
+
cos
2
α
=
1
{\displaystyle {\sin }^{2}\alpha +{\cos }^{2}\alpha =1\,}
^ Ekbom, Lennart (1978). Tabeller och formler N T Te ISBN 91-24-27604-9 ^
sin
2
t
cos
2
t
=
1
−
cos
2
t
cos
2
t
=
1
c
o
s
2
t
−
c
o
s
2
t
c
o
s
2
t
⇔
tan
2
t
=
1
c
o
s
2
t
−
1
⇔
1
+
tan
2
t
=
1
c
o
s
2
t
⇔
cos
2
t
=
1
1
+
tan
2
t
{\displaystyle {\frac {\sin ^{2}t}{\cos ^{2}t}}={\frac {1-\cos ^{2}t}{\cos ^{2}t}}={\frac {1}{cos^{2}t}}-{\frac {cos^{2}t}{cos^{2}t}}\Leftrightarrow \tan ^{2}t={\frac {1}{cos^{2}t}}-1\Leftrightarrow 1+\tan ^{2}t={\frac {1}{cos^{2}t}}\Leftrightarrow \cos ^{2}t={\frac {1}{1+\tan ^{2}t}}}
sin
2
t
=
1
−
cos
2
t
=
1
−
1
1
+
tan
2
t
=
1
+
tan
2
t
−
1
1
+
tan
2
t
=
tan
2
t
1
+
tan
2
t
{\displaystyle \sin ^{2}t=1-\cos ^{2}t=1-{\frac {1}{1+\tan ^{2}t}}={\frac {1+\tan ^{2}t-1}{1+\tan ^{2}t}}={\frac {\tan ^{2}t}{1+\tan ^{2}t}}}
