Trigonometriska ettan

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Enhetscirkeln

Trigonometriska ettan är ett trigonometriskt samband som erhålls om Pythagoras sats tillämpas på enhetscirkeln:

\sin^2v+\cos^2v=1 \, .

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Med rätvinkliga trianglar[redigera | redigera wikitext]

I rätvinkliga trianglar har man följande relationer för en vinkel  x med närliggande sidor med längd a, b och hypotenusan  c :

\sin x = \frac{a}{c}
\cos x = \frac{b}{c}

Av detta följer

 {\sin}^2 x + {\cos}^2 x = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1

Den sista likheten följer av sambandet  a^2 + b^2 = c^2 enligt Pythagoras sats.

Observera att detta endast bevisar satsen för vinklar mellan 0 och  \frac{\pi}{2} radianer. För att bevisa satsen för de vinklar \ x som uppfyller  -\pi \leq x \leq \pi (detta intervall är tillräckigt då sinus och cosinus är periodiska funktioner), kan man se att

\cos (x + \frac{\pi}{2}) = -\sin x
\sin (x + \frac{\pi}{2}) = \cos x

Av detta följer

{\cos}^2 (x + \frac{\pi}{2}) = (-\sin(x))^2 = {\sin}^2 x
{\sin}^2 (x + \frac{\pi}{2}) = {\cos}^2 x

Vilket visar att sambandet gäller för  0 \leq x \leq \pi . Vi vet att:

\cos (-x) = \cos x\,
\sin (-x) = -\sin x\,

Av vilket följer

\ {\cos}^2 (-x) = {\cos}^2 x,
\ {\sin}^2 (-x) = (-\sin(x))^2 = {\sin x}^2

Vilket visar att sambandet  {\sin}^2 x + {\cos}^2 x=1\, gäller för intervallet  -\pi \leq x \leq \pi och därmed för alla \ x .

Med enhetscirkel[redigera | redigera wikitext]

Koordinaterna på enhetscirkeln kan beskrivas med (där  \alpha är vinkeln):

x = \cos \alpha\,
y = \sin \alpha\,

Dessa koordinater uppfyller även sambandet (cirkelns ekvation):

x^2 + y^2 = 1 \,

Ur detta följer att

{\sin}^2 \alpha + {\cos}^2 \alpha = 1\,

Se även[redigera | redigera wikitext]