Trigonometriska ettan

Enhetscirkeln

Trigonometriska ettan är ett trigonometriskt samband som erhålls om Pythagoras sats tillämpas på enhetscirkeln:

$\sin^2v+\cos^2v=1 \, .$

Bevis

Med rätvinkliga trianglar

I rätvinkliga trianglar har man följande relationer för en vinkel $x$ med närliggande sidor med längd $a, b$ och hypotenusan $c$:

$\sin x = \frac{a}{c}$

$\cos x = \frac{b}{c}$

Av detta följer

${\sin}^2 x + {\cos}^2 x = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1$

Den sista likheten följer av sambandet $a^2 + b^2 = c^2$ enligt Pythagoras sats.

Observera att detta endast bevisar satsen för vinklar mellan 0 och $\frac{\pi}{2}$ radianer. För att bevisa satsen för de vinklar $\ x$ som uppfyller $-\pi \leq x \leq \pi$ (detta intervall är tillräckigt då sinus och cosinus är periodiska funktioner), kan man se att

$\cos (x + \frac{\pi}{2}) = -\sin x$

$\sin (x + \frac{\pi}{2}) = \cos x$

Av detta följer

${\cos}^2 (x + \frac{\pi}{2}) = (-\sin(x))^2 = {\sin}^2 x$

${\sin}^2 (x + \frac{\pi}{2}) = {\cos}^2 x$

Vilket visar att sambandet gäller för $0 \leq x \leq \pi$. Vi vet att:

$\cos (-x) = \cos x\,$

$\sin (-x) = -\sin x\,$

Av vilket följer

$\ {\cos}^2 (-x) = {\cos}^2 x,$

$\ {\sin}^2 (-x) = (-\sin(x))^2 = {\sin x}^2$

Vilket visar att sambandet ${\sin}^2 x + {\cos}^2 x=1\,$ gäller för intervallet $-\pi \leq x \leq \pi$ och därmed för alla $\ x$.

Med enhetscirkel

Koordinaterna på enhetscirkeln kan beskrivas med (där $\alpha$ är vinkeln):

$x = \cos \alpha\,$

$y = \sin \alpha\,$

Dessa koordinater uppfyller även sambandet (cirkelns ekvation):

$x^2 + y^2 = 1 \,$

Ur detta följer att

${\sin}^2 \alpha + {\cos}^2 \alpha = 1\,$

Se även

• Cosinus för dubbla vinkeln
• Lista över trigonometriska identiteter