Ultrafilter

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken, framförallt i mängdteori och modellteori är begreppet ultrafilter ett sätt att formalisera idén om en "stor" delmängd till en mängd M.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Given en mängd M, så är ett filter F på M en icke-tom mängd av delmängder till M som satisfierar följnade villkor:

  1. Om U\in F och U\subseteq VV\in F
  2. Om U\in F och V\in FU\cap V\in F

Ett filter F på M sägs vara ett ultrafilter om de är maximalt, dvs om följande villkor är uppfyllt:

  1. För varje A\subseteq M gäller A\in F eller M\backslash A\in F

Ett ultrafilter F på M sägs vara principalt om det finns ett element m\in M så att:

  • F_m=\{A\subseteq M\mid m\in A\}.

Existens[redigera | redigera wikitext]

Principala ultrafilter på en mängd M existerar trivialt för varje m\in M. Med hjälp av urvalsaxiomet kan man visa att det på varje oändlig mängd finns ett icke-principalt ultrafilter.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

De enda exempel på ultrafilter som konkret kan presenteras är de principala ultrafiltren, eftersom urvalsaxiomet krävs för att visa att andra ultrafilter existerar.

Användning[redigera | redigera wikitext]

Ultrafilter används för att konstruera ultraprodukter, som används i mängdteori och modellteori

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.