Union (matematik)

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Union av två mängder:
~A \cup B
Unionen av tre mängder:
~A \cup B \cup C

Inom matematiken är unionen av två mängder A och B mängden av alla element som finns i A eller B. Med "eller" menas här "inklusivt eller", det vill säga alla element som ingår i mängderna A och B. Unionen av A och B skrivs A ∪ B där ∪ är symbolen för union.

Definitionen innebär till exempel att för alla A gäller A ∪ ∅ = A och A ∪ A = A, där ∅ är symbolen för tomma mängden.

En union kan omfatta ett godtyckligt antal mängder. Unionen av

S_1, S_2, S_3, \dots , S_n\,\!

skrivs ofta som

S_1 \cup S_2 \cup S_3 \cup \dots \cup S_n

Exempel[redigera | redigera wikitext]

  • {A, B, C, D} ∪ {C, D, E} = {A, B, C, D, E}
  • {x : x är ett jämnt tal} ∪ {x : x är ett udda tal} = {x : x är ett heltal}
  • {x : x är en människa} ∪ {x : x är en svensk medborgare} = {x : x är en människa}

Unär union[redigera | redigera wikitext]

Den ovanstående binära operatorn är dock enbart ett specialfall av den unära unionsoperatorn, som beskrivs av unionsaxiomet i mängdteorin ZFC:

\forall x\ \exists\cup\!x : \forall y ( y\in\cup x \iff \exists z\in x : y\in z )

Detta \cup x utläses unionen av x. En vanlig beteckning är \bigcup_{z\in x} z := \cup x, som utläses unionen av alla z i x.

Vi ser att den binära unionsoperatorn är ett specialfall, eftersom

x\cup y = \cup \{x,y\}

Se även[redigera | redigera wikitext]