Union (matematik)

Unionen av A och B

I matematiken är unionen mellan två mängder A och B mängden av alla element som finns i A eller B. Med "eller" menas här inklusivt eller, det vill säga element som finns i både A och B ingår också i unionen. Unionen av A och B skrivs A ∪ B. Av definitionen förstår man att för alla A gäller A ∪ ∅ = A och A ∪ A = A.

Om inklusivt eller ovan ersätts av exklusivt eller, fås den symmetrisk differensen.

Exempel:

• {A, B, C, D} ∪ {C, D, E} = {A, B, C, D, E}
• {x : x är ett jämnt tal} ∪ {x : x är ett udda tal} = {x : x är ett heltal}
• {x : x är en människa} ∪ {x : x är en svensk medborgare} = {x : x är en människa}

Unär union

Den ovanstående binära operatorn är dock enbart ett specialfall av den unära unionsoperatorn, som beskrivs av unionsaxiomet i mängdteorin ZFC:

$\forall x\ \exists\cup\!x : \forall y ( y\in\cup x \iff \exists z\in x : y\in z )$

Detta $\cup x$ utläses unionen av x. En vanlig beteckning är $\bigcup_{z\in x} z := \cup x$, som utläses unionen av alla z i x.

Vi ser att den binära unionsoperatorn är ett specialfall, eftersom

$x\cup y = \cup \{x,y\}$

Se även

• Snitt
• Mängdteori