Jämna och udda tal

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

I matematik är varje heltal antingen jämnt eller udda. Om den sista siffran i ett heltal är 0, 2, 4, 6 eller 8 är det ett jämnt tal. Om den sista siffran i ett heltal är 1, 3, 5, 7 eller 9 är det ett udda tal. Istället för att tala om huruvida ett tal är udda eller jämnt kan man även tala om dess paritet.

Om ett heltal är en multipel av två (eller om man så vill jämnt delbart med två) är det ett jämnt tal; annars är det ett udda tal. Detta kan även sägas som att jämna tal kan skrivas på formen 2k och udda på formen 2k + 1, där k är ett heltal. Exempel på jämna tal är −4 och 70. Exempel på udda tal är −5 och 71. Både jämna och udda tal bildar listor som är oändliga åt båda hållen. Talet noll är jämnt, eftersom det är lika med två gånger noll.

Mängden av de jämna talen kan skrivas:

Jämna = 2Z = {..., −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, ...}.

Mängden av de udda talen kan skrivas:

Udda = 2Z + 1 = {..., −5, −3, −1, 1, 3, 5, ...}.

Mängden av de jämna och udda talen bildar en partition av mängden heltal.

Det finns lika många udda heltal som det finns heltal och det finns lika många jämna heltal som det finns heltal; dessa två egenskaper är en konsekvens av det faktum att heltalen utgör vad som kallas en uppräkneligt oändlig mängd. (Se artikeln om kardinalitet för en utförligare diskussion om oändliga mängder.)

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Ett tal i decimalsystemet är jämnt eller udda beroende på om dess sista siffra är jämn eller udda. Det betyder att om sista siffran är 1, 3, 5, 7, eller 9 är det udda, annars jämnt. Samma princip gäller för alla jämna baser. Särskilt är ett tal i binära talsystemet udda om dess sista siffra är 1 och jämn om dess sista siffra är 0. I en udda bas är talet jämnt eller udda beroende på siffersumman.

De jämna talen bildar ett ideal i heltalsringen, men inte de udda. Ett heltal är jämnt om det är kongruent modulo detta ideal, med andra ord om det är kongruent med 0 modulo 2, och udda om det är kongruent med 1 modulo 2.

Alla primtal är udda, med ett undantag: 2.

Alla kända perfekta tal är jämna. Det är dock inte bevisat att udda perfekta tal inte skulle kunna existera.

Enligt Goldbachs förmodan kan varje jämnt heltal större än 2 skrivas som en summa av två primtal. Datorberäkningar har visat att förmodan är sann för heltal åtminstone upp till 4 × 1014, men något generellt bevis har ännu inte hittats.

Enligt Feit–Thompsons sats är en ändlig grupp alltid lösbar om dess ordning är udda. Detta är ett exempel på att udda tal spelar roll i en avancerad matematisk sats där tillämpningen av den enkla hypotesen om "udda ordning" är långtifrån uppenbar.

I blåsinstrument som är cylindriska och i praktiken slutna i ena änden, som klarinetter vid klockstycket, är övertonernas frekvens udda multipler av grundtonens frekvens. (Med cylindriska pipor öppna i båda ändar, som används till exempel i vissa orgelstämmor, är övertonernas frekvens jämna multipler av grundtonsfrekvensen, men detta är det samma som att vara alla multipler av grundtonsfrekvensen och uppfattas oftast så.)

I böcker har i regel vänstra sidan (verso) jämna sidonummer och högra sidan (recto) udda sidonummer.

Räknelagar för udda och jämna tal[redigera | redigera wikitext]

De följande lagarna kan bevisas med hjälp av delbarhet och att 2 är ett primtal:

Addition och subtraktion[redigera | redigera wikitext]

  • jämn ± jämn = jämn
  • jämn ± udda = udda
  • udda ± udda = jämn

Multiplikation[redigera | redigera wikitext]

  • jämn * jämn = jämn
  • jämn * udda = jämn
  • udda * udda = udda

Exempel (jämn):

  • 2 \cdot 2 = 4
  • 4 \cdot 4 = 16

Exempel (udda):

  • 3 \cdot 3 = 9
  • 5 \cdot 5 = 25

Division[redigera | redigera wikitext]

Delning av två heltal har inte nödvändigtvis ett heltal som resultat. Till exempel är 1 delat med 4 lika med 1/4, som varken är jämnt eller udda, eftersom egenskaperna jämn eller udda bara kan tillämpas på heltal. Men när kvoten är ett heltal är den jämn omm täljaren har fler två-faktorer än nämnaren.

Paritet[redigera | redigera wikitext]

Egenskapen "jämnhet" eller "uddahet" kallas även paritet. Att säga om ett nummer är jämnt eller udda är att beskriva dess paritet. En permutations paritet (i abstrakt algebra) är pariteten hos antalet transpositioner som permutationen kan delas upp i. Till exempel är (ABC) till (BCA) jämnt eftersom det kan genomföras genom att byta plats på A och B, och sedan C och A (två transpositioner). Det kan visas att ingen permutation kan delas upp i både ett jämnt och ett udda antal transpositioner, alltså är det ovanstående en lämplig definition.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.