Universell envelopperande algebra

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

För varje Lie-algebra kan man konstruera dess universella envelopperande algebra. Detta är en (unitär) associativ algebra som återspeglar många egenskaper hos den ursprungliga Lie-algebran. Konstruktionen har central betydelse bland annat inom representationsteorin för Lie-algebror.

Allmänt kan man betrakta en associativ algebra som en Lie-algebra genom att låta Lie-haken utgöras av kommutatorn. Varje Lie-algebra kan avbildas på en associativ algebra betraktad på detta sätt. Den universella envelopperande algebran U(g) för en Lie-algebra g medger en sådan avbildning som i en bestämd mening är den generellast möjliga. Situationen motsvarar formellt förhållandet mellan en grupp och dess gruppalgebra. Speciellt garanteras ett naturligt ett-till-ett-förhållande mellan representationer för g och moduler över U(g).

I typfallet, då g ges av första ordningens differentialoperatorer, kan U(g) identifieras med algebran av differentialoperatorer av godtycklig ordning.

Definition och universell egenskap[redigera | redigera wikitext]

Låt g vara en Lie-algebra över en kropp K och låt T(g) vara tensoralgebran över g betraktad som vektorrum över K. Den universella envelopperande algebran U(g) är då kvoten av T(g) med idealet genererat av relationerna


[a, b] = a \otimes b - b \otimes a, \qquad a, b \in g.

Definitionen säkerställer att den kanoniska injektionen ι : g → U(g) är en Lie-algebrahomomorfism. Algebran U(g) har den universella egenskapen att för varje Lie-algebrahomomorfism f:g → A, där A är en godtycklig K-algebra, existerar en entydigt bestämd K-algebrahomomorfism h:U(g) → A så att f = h o ι.

Här förutsätts implicit att varje associativ algebra A är försedd med sin naturliga Lie-algebrastruktur given av kommutatorn. Det vill säga


[a, b] = ab - ba, \qquad a, b \in A.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Konkret beskrivning[redigera | redigera wikitext]

Kategoriteoretisk beskrivning[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.