Andragradsfunktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En andragradsfunktion är en polynomfunktion av andra graden.

Andragradsfunktioner av en variabel[redigera | redigera wikitext]

Grafen till en andragradsfunktion av en variabel är en parabel. Begreppet andragradskurva används ibland felaktigt synonymt med grafen till en andragradsfunktion. Grafen till en andragradsfunktion är en andragradskurva, men en andragradskurva måste inte vara grafen till en andragradsfunktion.

Om a > 0 har funktionen en minimipunkt och går mot \infty då x går mot \pm \infty
Om a < 0 har funktionen en maximipunkt och går mot -\infty då x går mot \pm \infty

Max/min-punkten kallas funktionsgrafens vertex, och den lodräta linjen därigenom kallas grafens symmetrilinje.

Genom kvadratkomplettering kan man skriva om

f(x) = ax^2 + bx + c = a \left( x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} \right) = a\left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a} - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}

Utifrån det kan man utläsa att funktionens max/min uppnås då kvadraten är 0, dvs

(x,f(x)) = \left(\frac{-b}{2a},c - \frac{b^2}{4a}\right)

Dessutom visar ekvationen att graferna till alla andragradsfunktioner av en variabel är likformiga

Andragradsfunktioner i fler dimensioner[redigera | redigera wikitext]

Andragradsfunktioner kan generellt skrivas på formen

f(\mathbf{x}) = \sum a_i x_i^2 +\sum_{i>j}b_{ij}x_ix_j +\sum c_i x_i+d, där \ a_i, \ b_{ij}, \ c_i och \ d är konstanter och \ \prod a_i \ne 0.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.