Andragradsekvation

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är en andragradsekvation med en obekant, en ekvation av formen

Talen a, b och c är ekvationens koefficienter och uttrycket [1] betyder att a är skilt från noll. Prefixet andragrads innebär att 2 är den högsta potens med vilken det obekanta talet x förekommer i ekvationen.

Lösningar till andragradsekvationer[redigera | redigera wikitext]

A: Två skärningspunkter, två reella rötter
B: En skärningspunkt, en reell dubbelrot
C: Ingen skärningspunkt, rötterna komplexa

Att lösa en andragradsekvation med reella koefficienter motsvaras av att finna skärningspunkterna för parabeln

och den räta linjen

vars riktningskoefficient k är -b/a och som skär y-axeln i punkten (0, m), där m = -c/a. Andragradsekvationen kan därför skrivas som ett ekvationssystem:

Om skärningspunkter saknas har ekvationssystemet endast komplexa lösningar.

En andragradsekvation har, i enlighet med algebrans fundamentalsats, alltid två lösningar, som är reella eller komplexa tal, beroende på ekvationens koefficienter:

har två lösningar som är identiska reella tal (dubbelrot)
har två reella lösningar
har två lösningar som är komplexa tal

Ekvationens diskriminant (se nedan) avgör vilket av de tre fallen som gäller.

Lösningsformeln[redigera | redigera wikitext]

Lösningsformeln, även kallad rotformeln, för andragradsekvationen

är

Om a = 1, eller genom division med a, kan ekvationen skrivas som

och den så kallade pq-formeln ger lösningarna som

Uttrycket under kvadratrotstecknet kallas andragradsekvationens diskriminant.

Om koefficienterna är komplexa tal kan kvadratrotens argument vara komplext och då måste en metod för kvadratrotsberäkning av komplexa tal användas.

Härledning[redigera | redigera wikitext]

Formlerna för andragradsekvationens lösningar (rötter), kan härledas genom kvadratkomplettering. Först divideras med koefficienten för x2-termen, som enligt förutsättning är nollskild, vilket innebär övergång till formatet

Kvadratkomplettering genom addition av till båda leden och överflyttning av q:

Genom användning av en kvadreringsregel på vänsterledet kan ekvationen skrivas

vilket ger

Rötter då koefficienterna är reella[redigera | redigera wikitext]

Rötternas beroende av diskriminanten
D < 0: två komplexa rötter
D = 0: en dubbelrot; skärningspunkten med x-axeln
D > 0: två reella rötter; skärningspunkterna med x-axeln

Den typ av rötter (reella eller komplexa tal) som andragradsekvationen

har, beror på ekvationens diskriminant, D, vilken är uttrycket under lösningsformelns kvadratrotstecken:

Två lika och reella rötter (dubbelrot)[redigera | redigera wikitext]

Andragradsekvationen har en dubbelrot om, och endast om, diskriminanten är noll:

Villkoret D = 0 kan bara uppfyllas av andragradsekvationen

Ekvationen

har en dubbelrot, då ekvationens diskriminant är noll:

Dubbelroten är

Två olika och reella rötter[redigera | redigera wikitext]

Andragradsekvationen har två olika reella rötter om, och endast om, diskriminanten är ett positivt tal:

Ekvationen

har två olika reella rötter, eftersom diskriminanten är ett positivt tal:

De båda rötterna är

Två komplexa rötter[redigera | redigera wikitext]

I övriga fall har andragradsekvationen två komplexa rötter som är varandras komplexkonjugat. Med hjälp av absolutbeloppsfunktionen kan rötterna skrivas som

Ekvationen

har två komplexa rötter, då diskriminanten är negativ:

De båda rötterna är det komplexa konjugatparet

där i betecknar den imaginära enheten.

Rötter då koefficienterna är komplexa[redigera | redigera wikitext]

Tillämpning av lösningsformeln kräver i det allmänna fallet beräkning av roten till ett komplext tal.

Om det komplexa talet z skrivs i polär form som

där r, talets absolutbelopp, är ett reellt tal, kan den komplexa kvadratroten av z beräknas enligt

där är argumentet till z. Hur argumentet beräknas, se komplexa tal, polär form.

Ekvationen

har två olika komplexa rötter och diskriminanten är komplex:

Utan beräkning av komplex rot[redigera | redigera wikitext]

Ekvationen kan lösas utan beräkning av en komplex rot. Utgå från ekvationen

Efter kvadratkomplettering genom addition av till båda leden och omflyttning av d:

Sätt

Högerledet i (1) är en konstant och kan skrivas . Ekvation (1) övergår då till

Vänster- och högerledens reella och imaginära delar skall överensstämma för likhet. Även beloppen skall vara lika. För realdelar respektive belopp gäller då

Om ekvationerna adderas kan x beräknas och därefter y. z bestäms sedan med hjälp av ekvation (2).

Samband mellan rötter och koefficienter[redigera | redigera wikitext]

Antag att ekvationen skrivs på formen

Talen och är rötter till en andragradsekvation om ekvationen kan skrivas som produkten av två faktorer av första ordningen:

Om uttrycket utvecklas framgår att sambandet mellan andragradsekvationens koefficienter och dess lösningar är

Talet är således lösningarnas aritmetiska medelvärde och talet är lösningarnas geometriska medelvärde, förutsatt att koefficienten q är ett positivt tal:

Konjugatkomplettering genom variabelsubstitution[redigera | redigera wikitext]

Ett andragradsuttryck kan transformeras via variabelsubstitution enligt

Sätt
i högerledet, vilket ger

Metoden kan användas för att lösa andragradsekvationer. Exempel:

Omskrivning ger
Gör substitutionen
som insatt i (1) ger
och alltså är
Enligt substitutionen är då

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Banan för en simhoppare

En simhoppares bana kan anses följa en parabel om luftmotståndet försummas. Hopparens horisontella hastighet är konstant och den horisontella rörelsen kan beskrivas med den linjära funktionen

där t är tiden och är den initiala hastigheten i horisontalled. Hopparen har en konstant acceleration i vertikalled och den vertikala rörelsen kan beskrivas med den kvadratiska funktionen

där är den initiala hastigheten i vertikalled och h är den initiala höjden. Banan kan därmed beskrivas med andragradsfunktionen

vilken till exempel kan lösas som en andragradsekvation för konstanta y.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ http://www2.math.su.se/~torbjorn/Undervisn/Andragradsekvationer.pdf sid. 1