Baselproblemet

Baselproblemet formulerades 1644 av Pietro Mengoli och löstes av Leonhard Euler 1734 (lösningen presenterades 1735 inför Rysslands Vetenskapsakademi). Bernhard Riemann, som var väl insatt i Eulers arbeten, generaliserade mer än hundra år senare detta resultat till vad som idag kallas Riemanns zetafunktion.

Problemet är att finna vad serien

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$

konvergerar mot.

Eulers lösning

För att visa detta samband utgick Euler från maclaurinutvecklingen av sinus:

$\sin z=z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots$

För ekvationen $\sin z=0$ blir en rot $z=0$, och för övriga gäller enligt ovan:

$1-{\frac {z^{2}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{7!}}+\cdots =0$

(1)

Med variabelbytet $w=z^{2}$ får vi följande ekvation:

$1-{\frac {w}{3!}}+{\frac {w^{2}}{5!}}-{\frac {w^{3}}{7!}}+\cdots =0$

(2)

De nollskilda lösningarna till $\sin z=0$ är $z=\pm \pi ,\pm 2\pi ,\pm 3\pi ,\ldots$ vilket ger $w_{1}=\pi ^{2},w_{2}=(2\pi )^{2},w_{3}=(3\pi )^{2},\ldots$ som lösningar till ekvationen ovan.

Detta kombinerade Euler nu med sambandet att om $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ är rötter till ekvationen $x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n}=0$ gäller:

${\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}=-{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}$

Tillsammans med ekvation 2 får vi då ($a_{n-1}=-{\frac {1}{6}}$ och $a_{n}=1$):

${\frac {1}{\pi ^{2}}}+{\frac {1}{(2\pi )^{2}}}+{\frac {1}{(3\pi )^{2}}}+\cdots ={\frac {1}{6}}$

(3)

Genom att multiplicera detta med $\pi ^{2}$ följer att

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

Referenser

• Boris Sjöberg. Från Euklides till Hilbert. Åbo Akademis förlag, 2001. ISBN 952-9616-44-9.