Baselproblemet

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Baselproblemet formulerades 1644 av Pietro Mengoli och löstes av Leonhard Euler 1735. Bernhard Riemann, som var väl insatt i Eulers arbeten, generaliserade mer än hundra år senare detta resultat till vad som idag kallas Riemanns zetafunktion.

Problemet är att finna vad serien

konvergerar mot.

Eulers lösning[redigera | redigera wikitext]

För att visa detta samband utgick Euler från maclaurinutvecklingen av sinus:

För ekvationen blir en rot , och för övriga gäller enligt ovan:

(1)

Med variabelbytet får vi följande ekvation:

(2)

De nollskilda lösningarna till är vilket ger som lösningar till ekvationen ovan.

Detta kombinerade Euler nu med sambandet att om är rötter till ekvationen gäller:

Tillsammans med ekvation 2 får vi då ( och ):

(3)

Genom att multiplicera detta med följer att

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Boris Sjöberg. Från Euklides till Hilbert. Åbo Akademis förlag, 2001. ISBN 952-9616-44-9.