Borel–Cantellis lemma

Borel–Cantellis lemma är inom matematiken, specifikt inom sannolikhetsteorin och måtteori, ett antal resultat med vilka man kan undersöka om en följd av stokastiska variabler konvergerar eller ej.

Borel–Cantellis lemma

Om $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ är en följd av alltmer ovanliga händelser, kommer endast ändligt många av dem att inträffa:

$\sum _{n=1}^{\infty }P(A_{n})<\infty ~\Rightarrow ~P\left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=0.$

Beteckningen $P(A_{n})$ står för sannolikheten att händelsen $A_{n}$ skall inträffa.

Om $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ är en följd av vanligt förekommande oberoende händelser, så kommer oändligt många av dem att inträffa:

$\sum _{n=1}^{\infty }P(A_{n})=\infty ~\Rightarrow ~P\left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=1.$

En mer allmän form av det första av Borel–Cantellis lemma gäller godtyckliga måttrum: Om $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ är ett måttrum och $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ är en följd av element i sigma-algebran ${\mathcal {F}}$ så gäller

$\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})<\infty ~\Rightarrow ~\mu \left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=0;$

måttet $\mu$ behöver inte vara ändligt.

Bevis för det första av Borel–Cantellis lemmata

Scenariot att oändligt många av händelserna $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ skall inträffa kan skrivas

$\limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\underbrace {\left(\bigcup _{m=n}^{\infty }A_{m}\right)} _{=B_{n}}=\bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n}.$

Händelserna $B_{1},B_{2},B_{3},\ldots$ är mindre och mindre delar av varandra:

$B_{1}\supseteq B_{2}\supseteq B_{3}\supseteq \cdots ;$

detta innebär dels att snittet av de $N$ stycken första händelserna är samma sak som händelsen $B_{N}$:

$\bigcap _{n=1}^{N}B_{n}=B_{N}$

och dels att sannolikheterna för att händelserna skall inträffa blir mindre och mindre:

$P(B_{1})\geq P(B_{2})\geq P(B_{3})\geq \cdots .$

Villkoret

$\sum _{n=1}^{\infty }P(A_{n})<\infty$

att summan av sannolikheterna för händelserna $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots ,$ är ändlig innebär att sannolikheterna $P(B_{N})$ blir hur små som helst ju större talet N är:

$\lim _{N\to \infty }P(B_{N})=0.$

Det faktum att ett sannolikhetsmått är ett ändligt mått låter oss dra slutsatsen att

$P(\lim _{N\to \infty }B_{N})=\lim _{N\to \infty }P(B_{N}).$

Eftersom händelserna $B_{1},B_{2},\ldots$ är delar av varandra vet vi att

$\bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n}=\lim _{N\to \infty }B_{N}.$

Därför kan vi säga att

$P(\limsup _{n\to \infty }A_{n})=P(\lim _{N\to \infty }B_{N})=\lim _{N\to \infty }P(B_{N})=0.$

Koppling till konvergens av stokastiska variabler

En följd av stokastiska variabler $\{X_{n}\}$ konvergerar mot den stokastiska variabeln $X$ om 'avståndet' $\vert X_{n}-X\vert$ avtar mot noll då index $n$ växer. (Det finns många olika tolkningar av begreppet avstånd mellan stokastiska variabler.)

Låt $A_{n}$ vara händelsen att 'avståndet' mellan $X_{n}$ och $X$ är större än talet $1/n$:

$A_{n}=\left\{\omega \in \Omega :\vert X_{n}(\omega )-X(\omega )\vert \geq 1/n\right\}.$

Om dessa händelser successivt blir så ovanliga att deras sannolikheter avtar, så att $\sum _{n=1}^{\infty }P(A_{n})<\infty ,$ så säger Borel–Cantellis lemma att endast ändligt många av dem kommer att inträffa; Detta innebär att det finns ett ändligt (stokastiskt) index $N$ sådant att:

$\vert X_{n}-X\vert <1/n,\quad n>N.$

Det går därför att få 'avståndet' mellan $X_{n}$ och $X$ hur litet som helst, så länge som man väljer index $n$ tillräckligt stort; Med andra ord konvergerar följden $\{X_{n}\}$ mot $X$.