Borel–Cantellis lemma

Från Wikipedia
(Omdirigerad från Borel-Cantellis lemma)
Hoppa till: navigering, sök

Borel–Cantellis lemma är inom matematiken, specifikt inom sannolikhetsteorin och måtteori, ett antal resultat med vilka man kan undersöka om en följd av stokastiska variabler konvergerar eller ej.

Borel–Cantellis lemma[redigera | redigera wikitext]

Om är en följd av alltmer ovanliga händelser, kommer endast ändligt många av dem att inträffa:

Beteckningen står för sannolikheten att händelsen skall inträffa.

Om är en följd av vanligt förekommande oberoende händelser, så kommer oändligt många av dem att inträffa:

En mer allmän form av det första av Borel–Cantellis lemma gäller godtyckliga måttrum: Om är ett måttrum och är en följd av element i sigma-algebran så gäller

måttet behöver inte vara ändligt.

Bevis för det första av Borel–Cantellis lemmata[redigera | redigera wikitext]

Scenariot att oändligt många av händelserna skall inträffa kan skrivas

Händelserna är mindre och mindre delar av varandra:

detta innebär dels att snittet av de stycken första händelserna är samma sak som händelsen :

och dels att sannolikheterna för att händelserna skall inträffa blir mindre och mindre:

Villkoret

att summan av sannolikheterna för händelserna är ändlig innebär att sannolikheterna blir hur små som helst ju större talet N är:

Det faktum att ett sannolikhetsmått är ett ändligt mått låter oss dra slutsatsen att

Eftersom händelserna är delar av varandra vet vi att

Därför kan vi säga att

Koppling till konvergens av stokastiska variabler[redigera | redigera wikitext]

En följd av stokastiska variabler konvergerar mot den stokastiska variabeln om 'avståndet' avtar mot noll då index växer. (Det finns många olika tolkningar av begreppet avstånd mellan stokastiska variabler.)

Låt vara händelsen att 'avståndet' mellan och är större än talet :

Om dessa händelser successivt blir så ovanliga att deras sannolikheter avtar, så att så säger Borel–Cantellis lemma att endast ändligt många av dem kommer att inträffa; Detta innebär att det finns ett ändligt (stokastiskt) index sådant att:

Det går därför att få 'avståndet' mellan och hur litet som helst, så länge som man väljer index tillräckligt stort; Med andra ord konvergerar följden mot .

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.