Cayleys sats

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Cayleys sats är en matematisk sats inom gruppteori uppkallad efter Arthur Cayley som säger att varje grupp är isomorf med någon permutationsgrupp.[1] En följd av Cayleys sats är att allt som gäller för permutationsgrupper gäller för grupper i allmänhet.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Beviset för Cayleys sats går ut på att det finns en undergrupp till den symmetriska gruppen, betecknad , som är isomorf med .

Tag ett och definiera en avbildning som för alla . Bilda , som är en delmängd till . är en grupp med funktionssammansättning som gruppoperation:

dvs, . Det neutrala elementet ligger i eftersom . Inversen till ges av . Detta ger att är en grupp, specifikt en delgrupp till .

Gruppen är i själva verket isomorf med , ty definierad som är en isomorfi:

är injektiv, ty om är som ger .
Att är surjektiv följer ur definitionen.
Att är en grupphomomorfi, dvs att följer ur .

De tre egenskaperna ovan ger att är en isomorfi. Alltså är gruppen isomorf med permutationsgruppen , vilket bevisar Cayleys sats.

Generalisering[redigera | redigera wikitext]

Cayleys sats kan generaliseras. Om är en delgrupp till med index så finns en homomorfi där är den symmetriska gruppen med element sådan att :s kärna är en delgrupp till . Med fås den ursprungliga satsen.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Låt vara ett element i och låt vara mängden av vänstersidoklasser till i . Definiera en funktion genom

för alla . Funktionen är då en permutation av och avbildningen definierad genom

är en homomorfi, då det gäller att

Gruppen är isomorf med , då vi från förutsättningarna vet att har element. Alltså är avbildningen en homomorfi.

Låt nu specifikt vara ett element i kärnan till . Då är för alla , och speciellt är vilket ger att . Alltså gäller att :s kärna är en delgrupp till , vilket skulle visas.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Dummit, D. S.; Foote, R. M. (2004). Abstract Algebra (3). Wiley. sid. 120. ISBN 978-0-471-43334-7 

Tryckta källor[redigera | redigera wikitext]

  • Svensson, Per-Anders (2001). Abstrakt Algebra. Studentlitteratur. ISBN 91-44-01262-4 
  • Rotman, Joseph (1995). An Introduction to the Theory of Groups. Springer Verlag. ISBN 3-540-94285-8