Cayleys sats

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Cayleys sats är en matematisk sats inom gruppteori uppkallad efter Arthur Cayley som säger att varje grupp är isomorf med någon permutationsgrupp.[1] En följd av Cayleys sats är att allt som gäller för permutationsgrupper gäller för grupper i allmänhet.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Beviset för Cayleys sats går ut på att det finns en undergrupp till den symmetriska gruppen, betecknad , som är isomorf med .

Tag ett och definiera en avbildning som för alla . Bilda , som är en delmängd till . är en grupp med funktionssammansättning som gruppoperation:

dvs, . Det neturala elementet ligger i eftersom . Inversen till ges av . Detta ger att är en grupp, specifikt en delgrupp till .

Gruppen är i själva verket isomorf med , ty definierad som är en isomorfi:

är injektiv, ty om är som ger .
Att är surjektiv följer ur definitionen.
Att är en grupphomomorfi, dvs att följer ur .

De tre egenskaperna ovan ger att är en isomorfi. Alltså är gruppen isomorf med permutationsgruppen , vilket bevisar Cayleys sats.

Generalisering[redigera | redigera wikitext]

Cayleys sats kan generaliseras. Om är en delgrupp till med index så finns en homomorfi där är den symmetriska gruppen med element sådan att :s kärna är en delgrupp till . Med fås den ursprungliga satsen.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Låt vara ett element i och låt vara mängden av vänstersidoklasser till i . Definiera en funktion genom

för alla . Funktionen är då en permutation av och avbildningen definierad genom

är en homomorfi, då det gäller att

Gruppen är isomorf med , då vi från förutsättningarna vet att har element. Alltså är avbildningen en homomorfi.

Låt nu specifikt vara ett element i kärnan till . Då är för alla , och speciellt är vilket ger att . Alltså gäller att :s kärna är en delgrupp till , vilket skulle visas.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Dummit, D. S.; Foote, R. M. (2004). Abstract Algebra (3). Wiley. Sid. 120. ISBN 978-0-471-43334-7. 

Tryckta källor[redigera | redigera wikitext]

  • Svensson, Per-Anders (2001). Abstrakt Algebra. Studentlitteratur. ISBN 91-44-01262-4 
  • Rotman, Joseph (1995). An Introduction to the Theory of Groups. Springer Verlag. ISBN 3-540-94285-8