Eisensteinintegral

Inom representationsteorin, en del av matematiken, är Eisensteinintegralen en integral introducerad av Harish-Chandra (1970, 1972) i representationsteorin av halvenkla Liegrupper, analogt till Eisensteinserien i teorin av automorfiska former. Harish-Chandra (1975, 1976a, 1976b) använde Eisensteinintegraler till att sammansätta regelbundna representationen av en halvenkel Liegrupp till representationer som uppstår ur paraboliska delgrupper. Trombi (1989) gav en översikt av Harish-Chandras arbete om detta.

Definition

Harish-Chandra (1970, section 10) definierar Eisensteinintegralen som

$\displaystyle E(P:\psi :\nu :x)=\int _{K}\psi (xk)\tau (k^{-1})\exp((i\nu -\rho _{P})H_{P}(xk))\ dk$

där:

• x är ett element av en halvenkel grupp G
• P = MAN är en kuspidal parabolisk delgrupp av G
• ν är ett element av komplexifieringen av a
• a är Liealgebran av A i Langlandssammansättningen P = MAN.
• K är en maximal kompakt delgrupp av G med G = KP.
• ψ är en kuspidal funktion på M som satisfierar vissa krav
• τ är en ändligdimensionell unitär dubbel representation av K
• H_P(x) = log a där x = kman är sammansättningen av x i G = KMAN.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Eisenstein integral, 19 december 2014.

• Harish-Chandra (1970), ”Harmonic analysis on semisimple Lie groups”, Bulletin of the American Mathematical Society 76: 529–551, doi:10.1090/S0002-9904-1970-12442-9, ISSN 0002-9904 
• Harish-Chandra (1972), ”On the theory of the Eisenstein integral”, i Gulick, Denny; Lipsman, Ronald L., Conference on Harmonic Analysis (Univ. Maryland, College Park, Md., 1971), Lecture Notes in Mathematics, "266", Berlin, New York: Springer-Verlag, s. 123–149, doi:10.1007/BFb0059640, ISBN 978-3-540-05856-4 
• Harish-Chandra (1975), ”Harmonic analysis on real reductive groups. I. The theory of the constant term”, J. Functional Analysis 19: 104–204, doi:10.1016/0022-1236(75)90034-8 
• Harish-Chandra (1976a), ”Harmonic analysis on real reductive groups. II. Wavepackets in the Schwartz space”, Inventiones Mathematicae 36: 1–55, doi:10.1007/BF01390004, ISSN 0020-9910 
• Harish-Chandra (1976b), ”Harmonic analysis on real reductive groups. III. The Maass-Selberg relations and the Plancherel formula”, Annals of Mathematics. Second Series 104 (1): 117–201, ISSN 0003-486X 
• Trombi, P. C. (1989), ”On Harish-Chandra's theory of the Eisenstein integral for real semisimple Lie groups”, i Sally, Paul J.; Vogan, David A., Representation theory and harmonic analysis on semisimple Lie groups, Math. Surveys Monogr., "31", Providence, R.I.: American Mathematical Society, s. 287–350, ISBN 978-0-8218-1526-7, http://books.google.com.do/books?id=5oJG0ukOVswC