Linjär ekvation

Två olika linjer och deras ekvationer.

Linjär ekvation, eller räta linjens ekvation, är en ekvation som beskriver en punktmängd, ofta en linje, i exempelvis ett plan eller ett rum. Ekvationen går att generalisera till en godtycklig dimension genom följande

$a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0$

där man låter ${\textstyle n}$ vara dimensionen, exempelvis är den räta linjen fallet då ${\textstyle n=2}$.

Linjära ekvationer i två variabler

En vanlig form att skriva en linjär ekvation på är k-formen:

$y=kx+m\,$

där k kallas riktningskoefficient och m kallas konstantterm. Sett som en linje i ett koordinatsystem utgör k linjens lutning och $m$ hur många enheter som linjen är förskjuten från origo.

Om $k>0$ har linjen en positiv lutning medan den har en negativ lutning om $k<0$.

Om $k=0$ är funktionen konstant och linjen är parallell med x-axeln.

Två linjer med samma riktningskoefficient är parallella. Två linjer vars riktningskoefficienter multiplicerade med varandra blir -1 är vinkelräta mot varandra.

För att kontrollera om en punkt finns på linjen kan man helt enkelt sätta in punktens koordinater som $x$ och $y$ i ekvationen och se om vi får likhet.

Andra former

En linjär ekvation kan även skrivas på så kallad allmän form:

$Ax+By+C=0\,$

eller på standardform:

$Ax+By=C.\,$

Om man känner till riktningskoefficienten och en punkt $(x_{0},y_{0})$ på linjen kan man skriva den på enpunktsform:

$y-y_{0}=k(x-x_{0})\,$

Linjära ekvationer i flera variabler

En linjär ekvation kan innehålla flera fria variabler och den allmänna linjära ekvationen för n variabler ser ut som:

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}=b\,$

och kan även skrivas på vektorform:

$\mathbf {a} ^{T}\mathbf {x} =b.$

En sådan ekvation representerar ett $(n-1)$-dimensionellt hyperplan i ett n-dimensionellt rum.

Källor

• Persson, Arne. (2010). Analys i en variabel. Studentlitteratur. ISBN 9789144067650. OCLC 856672767. http://worldcat.org/oclc/856672767. Läst 10 juni 2019 

Externa länkar

• Wiktionary har ett uppslag om linjär ekvation.
  Ordbok

• Wikimedia Commons har media som rör linjär ekvation.