Visa källa för Fridmans ekvationer

{{Fler fotnoter|datum=2022-12}}

'''Fridmans ekvationer''' relaterar olika [[kosmologi]]ska parametrar inom ramen för den [[allmänna relativitetsteorin]].

== Historik ==
Ekvationerna härleddes av [[Aleksandr Fridman]] år [[1922]] från [[Einsteins fältekvationer]] under vissa symmetriantaganden lämpliga för en [[kosmologisk modell]]. Från dessa ekvationer härleddes [[Fridman-Lemaître-Robertson-Walkermetriken]] för en [[fluid]] med en given [[densitet]] och [[tryck]]. Ekvationerna är:
:<math>H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3}\rho + \frac{\Lambda c^2}{3} - \frac{k}{a^2}</math>
	
:<math>\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho + 3p\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>
där <math>\rho</math> och <math>p</math> är densiteten och trycket hos fluiden, <math>\Lambda</math> är den [[kosmologiska konstanten]] som möjligen kan förklaras av [[vakuumenergi]]n, <math>G</math> är [[gravitationskonstanten]], <math>c</math> är [[ljusets hastighet]], <math>k</math> ger [[universums krökning]], och <math>a</math> är [[skalfaktor]]n. [[Hubbleparametern]] <math>H</math> är expansionshastigheten hos universum, ett värde som kan ändras med tiden om andra delar av ekvationen är tidsberoende särskilt energidensiteten, vakuumenergin och krökningen. En bestämning av Hubbleparameterns värde nu ger Hubblekonstanten, som är proportionalitetsfaktorn i [[Hubbles lag]]. Tillämpad på en fluid med en given [[tillståndsekvation]] ger Fridmans ekvationer utvecklingen i tiden och geometrin hos universum som en funktion av fluiddensiteten. 

Vissa kosmologer kallar den andra av de båda ekvationerna för ''accelerationsekvationen'' och reserverar begreppet ''Fridmans ekvation'' för den första av ekvationerna.

== Densitetsparametern ==

Den första av Fridmans ekvationer definierar en densitetsparameter som är användbar för att jämföra olika kosmologiska modeller:

:<math>\Omega \equiv \frac{\rho}{\rho_c} = \frac{8 \pi G}{3 H^2}\rho</math>

Denna term användes ursprungligen till att bestämma universums geometri och där <math>\rho_c</math> är den kritiska densitet då universum är platt. Om vakuumenergins densitet är noll och <math>\Omega</math> är större än 1 så är geometrin sluten. Om <math>\Omega</math> är mindre än 1 så är universum öppet. Emellertid kan man också inkludera krökningen och vakuumenergin i ett mer generaliserat uttryck för <math>\Omega</math> så att denna energidensitetsparameter blir exakt 1. Då handlar det om att mäta de olika komponenterna som vanligtvis markeras med olika indices. Enligt [[Lambda-CDM-modellen]] är de viktiga komponenterna hos <math>\Omega</math> [[baryon]]er, kall [[mörk materia]] och [[mörk energi]]. [[Rumtid]]ens geometri är i det allra närmaste helt platt enligt mätningar som gjorts av sonden [[WMAP]] vilket betyder att krökningsparametern κ är noll. 

Den första av Fridmans ekvationer skrivs ofta i en form med densitetsparametrar.
:<math>\frac{H^2}{H_0^2} = \Omega_R a^{-4} + \Omega_M a^{-3} + \Omega_{\lambda} - \frac{k}{a^2}</math>
Här är <math>\Omega_R</math> är densitetsparameterna för strålning, <math>\Omega_M</math> är densitetsparameterna för materia (mörk materia plus baryonisk materia) och <math>\Omega_\lambda</math> är den kosmologiska konstanten eller densiteten för vakuumenergin.

== Fridmans ekvation med annan skala ==
Sätt a=ãa<sub>0</sub>, ρ<sub>c</sub>=3H<sub>0</sub><sup>2</sup>/8π, ρ=ρ<sub>c</sub>Ω, <math>t=\tilde{t}/H_0</math>, Ω<sub>c</sub>=-κ/H<sub>0</sub><sup>2</sup>a<sub>0</sub><sup>2</sup>

där a<sub>0</sub> och H<sub>0</sub> är dagens värde på [[skalfaktorn]] respektive [[Hubbleparametern]].

Då fås

:<math>\frac{1}{2}\left( \frac{d\tilde{a}}{d\tilde{t}}\right)^2 + U_{eff}(\tilde{a})=\frac{1}{2}\Omega_c</math>

där U<sub>eff</sub>(ã)=Oã<sup>2</sup>/2.

För varje form av den effektiva potentialen U<sub>eff</sub>(ã), finns det en tillståndsekvation p=p(ρ) som ger ekvationen.

==I populärkultur==
Flera studenter vid [[Tsinghuauniversitetet]] ([[Folkrepubliken Kina|Kinas]] president [[Xi Jinping]]s [[alma mater]]) som deltog i [[Covid-19-protesterna i Kina 2022]] bar plakat med Fridmans ekvationer, vilket av vissa uttolkats som en anspelning på orden "Free man". Andra har uttolkat hänvisningen till ekvationerna som en uppmaning att "öppna upp" Kina och upphöra med sin nolltolerans mot covid, där Fridmans ekvationer behandlar universums expansion, eller dess "öppnande".<ref>{{webbref |url=https://www.bbc.com/news/world-asia-china-63778871 |titel=China's protests: Blank paper becomes the symbol of rare demonstrations |datum=28 november 2022 |verk=www.bbc.com}}</ref>

== Referenser ==
=== Källor ===
* [[Lars Bergström (fysiker)|L. Bergström]] & [[Ariel Goobar|A. Goobar]]; ''Cosmology and Particle Astrophysics'', 2:nd ed, [[Springer Science+Business Media|Springer]] (2004). {{ISBN|3-540-43128-4}}
=== Noter ===
<references/>

[[Kategori:Kosmologi]]