Gitter (ordning)

Gitter eller lattice är inom matematiken en partiellt ordnad mängd i vilken varje par av element har en minsta övre gräns och en största undre gräns. De kan även kategoriseras som algebraiska strukturer som uppfyller vissa axiomatiska identiteter. Varje gitter representeras av ett Hassediagram.

Gitter som partiellt ordnade mängder

En partiellt ordnad mängd är ett gitter om varje par av element i mängden har en minsta övre gräns och en största undre gräns. För ett sådant par (a, b) betecknas den minsta övre gränsen med a $\lor$ b, den största undre gränsen med a $\land$ b. På detta vis definierar vi gränserna som binära operationer. Motsvarande mängdoperation, att från en partiellt ordnad mängd A erhålla minsta övre gräns (respektive största undre gräns) betecknas $\bigvee A=a_{1}\lor \cdots \lor a_{n}$ (resp.$\bigwedge A=a_{1}\land \cdots \land a_{n}$) där $A=\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$

Ett Lattice (L, ${\land },{\lor })$ kallas en Boolesk algebra om det är distributivt och om varje element har ett komplement. Ett slutet gitter har ett största och ett minsta element, vilka normalt betecknas med 1 respektive 0.

Se även

• Gitter (grupp)

Källor

• Birkhoff, G. Lattice Theory, Am. Math. Soc., 1967.
• Bäckström, Karl-Johan, Diskret matematik, Studentlitteratur, 1986.