Goormaghtighs förmodan

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Goormaghtighs förmodan är en förmodan inom talteori uppkallad efter den belgiske matematikern René Goormaghtigh. Förmodan säger att de enda heltalslösningarna till

\frac{x^m - 1}{x-1}=\frac{y^n - 1}{y - 1}

som uppfyller x > y > 1 och m, n > 2 är

  • (xymn) = (5, 2, 3, 5) och
  • (xymn) = (90, 2, 3, 13).[1]

Detta kan också formuleras som att 31 och 8191 är de enda tal som skrivs med endast ettor (minst tre) i två olika baser.

31=\frac{2^5 - 1}{2-1}=\frac{5^3 - 1}{5 - 1}
8191=\frac{2^{13} - 1}{2-1}=\frac{90^3 - 1}{90 - 1}

De indiska matematikerna Ramachandran Balasubramanian och Tarlok Nath Shorey bevisade 1980 att det bara kan förekomma ett ändligt antal lösningar till ekvationen.[2] Däremot är problemet som helhet fortfarande olöst.[3]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Baker och Wüstholz, “Logarithmic forms and group varieties”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 442 (1993), 19–62.
  • Davenport, Lewis och Schinzel, “Equations of the form f(x) = g(y)”, Quarterly Journal of Mathematics: Oxford Journals, 12 (1961), 304–312.
  • Goormaghtigh, “L’Intermédiaire des Mathématiciens”, 24 (1917), 88.
  • Guy, Richard K., “Unsolved Problems in Number Theory”, Springer-Verlag (2004), 242, ISBN 0-387-20860-7.
  • T. Nagell, ”The diophantine equation x2 + 7 = 2n” , Arkiv för Matematik 4 (1961), 185–187.
  • S. Ramanujan, “Question 464”, The Journal of the Indian Mathematical Society, 5 (1913), Collected Papers, Cambridge Univiversity Press (1927), 327.
  • N. Saradha och T. N. Shorey, “On the equation (x+1) . . . (x+k) = (y+1) . . . (y+mk)” , Indagationes Mathematicae, 3 (1992), 79–90.
  • T. N. Shorey, “On the equation a(xm −1)/(x−1) = b(yn −1)/(y −1) (II)”, Hardy Ramanujan Journal, 7 (1984), 1–10.
  • —, “Integers with identical digits”, Acta Arithmetica, 53 (1989), 187–205.
  1. ^ Abdollahi och Hassanabadi (2007). ”Goormaghtigh conjecture”. Planetmath.org. http://planetmath.org/goormaghtighconjecture. Läst 15 oktober 2013. 
  2. ^ Balasubramanian och Shorey (1980). ”On the equation a(xm − 1)/(x − 1) = b(yn − 1)/(y − 1)”. Mathematica Scandinavica (46): sid. 177-182. 
  3. ^ Guy, Richard (2000). ”Unsolved Problems in Number Theory”. Springer förlag. http://books.google.se/books?id=1AP2CEGxTkgC&pg=PA432&lpg=PA432&dq=goormaghtigh+conjecture&source=bl&ots=TjpuhYEMry&sig=suzL2X6p0yO179nGaabyVrPzbdw&hl=sv&sa=X&ei=fE5dUua3Dabv4QTzsoDoDw&ved=0CGwQ6AEwCTgK#v=onepage&q=goormaghtigh%20conjecture&f=false. Läst 15 oktober 2013.