Hermites identitet

Inom matematiken är Hermites identitet, uppkallad efter Charles Hermite, en identitet som ger värdet av en summa som innehåller golvfunktionen. Identiteten säger att för varje reellt tal x och positivt heltal n gäller följande identitet:

$\sum _{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{\frac {k}{n}}\right\rfloor =\lfloor nx\rfloor .$

Bevis

Dela upp $x$ i heltalsdelen och bråkdelen, $x=\lfloor x\rfloor +\{x\}$. Det finns exakt en $k'\in \{1,\ldots ,n\}$ med

$\lfloor x\rfloor =\left\lfloor x+{\frac {k'-1}{n}}\right\rfloor \leq x<\left\lfloor x+{\frac {k'}{n}}\right\rfloor =\lfloor x\rfloor +1.$

Genom att subtrahera samma heltal $\lfloor x\rfloor$ från insidan av golvoperationerna på de vänstra och högra sidorna av denna olikhet, kan den skrivas som

$0=\left\lfloor \{x\}+{\frac {k'-1}{n}}\right\rfloor \leq \{x\}<\left\lfloor \{x\}+{\frac {k'}{n}}\right\rfloor =1.$

Följaktligen

$1-{\frac {k'}{n}}\leq \{x\}<1-{\frac {k'-1}{n}},$

och genom multiplikation av båda sidorna av $n$ ges

$n-k'\leq n\,\{x\}<n-k'+1.$

Om nu summationen från Hermites identitet är uppdelad i två delar med index $k'$ ges

$\sum _{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{\frac {k}{n}}\right\rfloor =\sum _{k=0}^{k'-1}\lfloor x\rfloor +\sum _{k=k'}^{n-1}(\lfloor x\rfloor +1)=n\,\lfloor x\rfloor +n-k'=n\,\lfloor x\rfloor +\lfloor n\,\{x\}\rfloor =\left\lfloor n\,\lfloor x\rfloor +n\,\{x\}\right\rfloor =\lfloor nx\rfloor .$

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Hermite's identity, 27 januari 2014.