Inom matematiken är Hermites identitet, uppkallad efter Charles Hermite, en identitet som ger värdet av en summa som innehåller golvfunktionen. Identiteten säger att för varje reellt tal x och positivt heltal n gäller följande identitet:[1][2]
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{\frac {k}{n}}\right\rfloor =\lfloor nx\rfloor .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f311af9e62e7c144b5db1a781ffa8c074cdcc8e)
Dela upp
i heltalsdelen och bråkdelen,
. Det finns exakt en
med
![{\displaystyle \lfloor x\rfloor =\left\lfloor x+{\frac {k'-1}{n}}\right\rfloor \leq x<\left\lfloor x+{\frac {k'}{n}}\right\rfloor =\lfloor x\rfloor +1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c13ac5566d83412e1058495f45f6a6a6d2cf66b)
Genom att subtrahera samma heltal
från insidan av golvoperationerna på de vänstra och högra sidorna av denna olikhet, kan den skrivas som
![{\displaystyle 0=\left\lfloor \{x\}+{\frac {k'-1}{n}}\right\rfloor \leq \{x\}<\left\lfloor \{x\}+{\frac {k'}{n}}\right\rfloor =1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4c635217f7eca8b8499c2bd411f803e0e141469)
Följaktligen
![{\displaystyle 1-{\frac {k'}{n}}\leq \{x\}<1-{\frac {k'-1}{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b83c03bdba7fa9a7e9e3208c8ba4f2db5733c51d)
och genom multiplikation av båda sidorna av
ges
![{\displaystyle n-k'\leq n\,\{x\}<n-k'+1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02bc6cff744f09a7c0f4c95b9ff76159dc522afe)
Om nu summationen från Hermites identitet är uppdelad i två delar med index
ges
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{\frac {k}{n}}\right\rfloor =\sum _{k=0}^{k'-1}\lfloor x\rfloor +\sum _{k=k'}^{n-1}(\lfloor x\rfloor +1)=n\,\lfloor x\rfloor +n-k'=n\,\lfloor x\rfloor +\lfloor n\,\{x\}\rfloor =\left\lfloor n\,\lfloor x\rfloor +n\,\{x\}\right\rfloor =\lfloor nx\rfloor .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a9e8b7086e241ecff1bd66fa8c1afbd6e185b2e)
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Hermite's identity, 27 januari 2014.
- ^ Savchev, Svetoslav; Andreescu, Titu (2003), ”12 Hermite's Identity”, Mathematical Miniatures, New Mathematical Library, "43", Mathematical Association of America, s. 41–44, ISBN 9780883856451 .
- ^ Matsuoka, Yoshio (1964), ”Classroom Notes: On a Proof of Hermite's Identity”, The American Mathematical Monthly 71 (10): 1115, doi:10.2307/2311413 .