Golv- och takfunktionerna

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Golvfunktionens graf
Takfunktionens graf

Golv- och takfunktionerna är två funktioner inom talteorin.

Värdet av golvfunktionen för något reellt tal x är det största heltal som är mindre än eller lika med x (för positiva tal x ger golvfunktionen helt enkelt heltalsdelen av x).

Exempel:

Andra beteckningssätt är (av engelska floor ’golv’) och

Takfunktionen ger på motsvarande sätt det minsta heltal som är större än eller lika med x.

Exempel:

Ett annat beteckningssätt är (av engelska ceiling ’(inner)tak’).

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Ramanujan presenterade följande problem i Journal of the Indian Mathematical Society.[1]

Om n är ett positivt heltal, bevisa att

(i)    

(ii)    

(iii)    

Användningar[redigera | redigera wikitext]

Formler för primtal[redigera | redigera wikitext]

Talet n är ett primtal om och endast om[2]

Låt r > 1 vara ett heltal, pn det n-te primtalet, och

Då är[3]

Det finns ett tal θ = 1.3064... (Mills konstant) så att

är alla primtal.[4]

Det finns även ett tal ω = 1.9287800... med egenskapen att

är alla primtal.[4]

Om π(x) är antalet primtal mindre eller lika stora som x, får man följande formel som en enkel konsekvens av Wilsons sats:[5]

Om n ≥ 2, är[6]

Ingen av formlerna i denna sektion är dock av någon praktisk betydelse.[7][8]

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Ramanujan, Question 723, Papers p. 332
  2. ^ Crandall & Pomerance, Ex. 1.3, p. 46
  3. ^ Hardy & Wright, § 22.3
  4. ^ [a b] Ribenboim, p. 186
  5. ^ Ribenboim, p. 181
  6. ^ Crandall & Pomerance, Ex. 1.4, p. 46
  7. ^ Ribenboim, p.180 says that "Despite the nil practical value of the formulas ... [they] may have some relevance to logicians who wish to understand clearly how various parts of arithmetic may be deduced from different axiomatzations ... "
  8. ^ Hardy & Wright, pp.344—345 "Any one of these formulas (or any similar one) would attain a different status if the exact value of the number α ... could be expressed independently of the primes. There seems no likelihood of this, but it cannot be ruled out as entirely impossible."