Hodgestruktur

Inom matematiken är en Hodgestruktur, uppkallad efter W. V. D. Hodge, en viss algebraisk struktur lik den strukturen som Hodgeteori ger åt kohomologigrupperna av en slät och kompakt Kählermångfald. En blandad Hodgestruktur är en generalisering, definierad av Pierre Deligne (1970). En variation av en Hodgestruktur är en familj av Hodgestrukturer parametriserade av en mångfald, först studerade av P. A. Griffiths (1968). Alla dessa koncept generaliserades vidare till blandade Hodgemoduler över komplexa varieteter av M. Saito (1989).

Definition

Definition av rena Hodgestrukturer

En ren Hodgestruktur av vikt n (n ∈ Z) består av en abelsk grupp H_Z och en sammansättning av dess komplexifiering H till en direkt summa av komplexa delrum H^p,q, där p + q = n, med egenskapen att det komplexa konjugatet av H^p,q är H^q,p:

$H:=H_{\mathbf {Z} }\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathbf {C} }=\bigoplus \nolimits _{p+q=n}H^{p,q}$

${\overline {H^{p,q}}}=H^{q,p}.$

En ekvivalent definition fås genom att ersätta sammansättningen i en direkt summa av H med Hodgefiltreringen, en ändlig minskande filtrering av H med komplexa delrumF^pH (p ∈ Z) som satisfierar kravet

$\forall p,q\ :\ p+q=n+1\ \ F^{p}H\cap {\overline {F^{q}H}}=0{\text{ and }}F^{p}H\oplus {\overline {F^{q}H}}=H.$

Relationen mellan dessa två beskrivningar är

$H^{p,q}=F^{p}H\cap {\overline {F^{q}H}}$

$F^{p}H=\bigoplus \nolimits _{i\geq p}H^{i,n-i}.$

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Hodge structure, 15 januari 2015.