Abelsk grupp

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom den abstrakta algebran är en abelsk grupp (efter Niels Henrik Abel) en grupp som är kommutativ och på så vis är en generalisering av addition av heltal.

Definition[redigera | redigera wikitext]

En abelsk grupp är en grupp där operationen är kommutativ, dvs. gruppen (G,*) är abelsk om

a*b=b*a

för alla a och b i G. De andra axiomen, som uppfylls av alla grupper, är att operatorn ska vara associativ, att det finns ett neutralt element och att varje element ska ha en invers.

Man kan också se om en grupp är abelsk i dess Cayleytabell; en grupp är abelsk om och endast om dess Cayleytabell är symmetrisk kring huvuddiagonalen, dvs. elementet på rad i och kolumn j ska vara samma som elementet på rad j och kolumn i.

Historia[redigera | redigera wikitext]

Camille Jordan uppkallade abelska grupper efter den norske matematikern Niels Henrik Abel, då Jordan noterade deras vikt inom problem om lösning med radikaler, ett problem som behandlades av Abel.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Om f och g är homomorfier mellan två abelska grupper så är även deras summa (f+g)(x) = f(x)+g(x) en homomorfi. Detta är inte sant för icke-abelska grupper.

Varje ändlig abelsk grupp är isomorf med en direkt produkt av cykliska grupper, vars ordningar är primtalspotenser, ett faktum som brukar kallas för fundamentalsatsen för ändliga abelska grupper.