Kärve (matematik)

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

I matematiken är en kärve en struktur som varierar på ett kontinuerligt sätt över ett topologiskt rum. Exempel på vanliga strukturer är abelska grupper, mängder och ringar. Kärvar är ett fundamentalt verktyg i all global geometri.

Definition[redigera | redigera wikitext]

En kärve av abelska grupper på ett topologiskt rum X är en funktion F som till varje öppen mängd U i X associerar en abelsk grupp F(U) samt till varje inklusion av öppna mängder U\rightarrow V associerar en homomorfi av abelska grupper F(V)\rightarrow F(U), så att följande axiom är satisfierade:

  1. Om U_1\subseteq U_2\subseteq U_3 samt f_{31}\colon F(U_3)\rightarrow F(U_1), f_{32}\colon F(U_3)\rightarrow F(U_2) och f_{21}\colon F(U_2)\rightarrow F(U_1) är de inducerade homomorfierna så gäller f_{31}=f_{21}\circ f_{32}
  2. Om U=\bigcup U_i är en övertäckning av U och f_i är avbildningen inducerad av inklusionen U_i\rightarrow U och s\in F(U) är sådan att f_i(U)=0 för varje i, så gäller s=0
  3. Om U=\bigcup U_i är en övertäckning av U, f_i är avbildningen inducerad av inklusionen U_i\rightarrow U, f_{ij} är avbildningen inducerad av inklusionen U_i\cap U_j\rightarrow U_i och s_i\in F(U_i) är givna sådana att f_{ij}(s_i)=f_{ji}(s_j) för varje i,j, så existerar s\in F(U) så att f_i(s)=s_i för varje i.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

  • För ett topologiskt rum X är funktionen som associerar till varje öppen mängd U mängden av funktioner från U till R (de reella talen) en kärve, med restriktion av funktioner som restriktionsavbildning.
  • På en differentierbar mångfald (eller algebraisk varietet) X är funktionen som associerar till en öppen mängd U vektorfälten på U en kärve, med restriktion av vektorfält som restriktionsavbildning. Denna kallas tangentkärven till X.
  • Given ett topologiskt rum och en abelsk grupp A, så är funktionen som associerar till varje öppen mängd U mängden av kontinuerliga funktioner från U till A där A givits den diskreta topologin en kärve, med restriktion av funktioner som restriktionsavbilning. Denna kärve kallas den konstanta kärven med koefficienter i A.