Korns olikhet

Inom matematiken är Korns olikhet en olikhet gällande gradienten av ett vektorfält. Olikheten säger följande: låt Ω vara en öppen sammanhängande domän i Rⁿ med n ≥ 2. Låt H¹(Ω) vara Sobolevrummet av alla vektorfält v = (v¹, ..., vⁿ) över Ω som tillsammans med sina svaga derivator är i Lebesguerummet L²(Ω). Beteckna den partiella derivatan i förhållande till den i-te komponenten som ∂_i och definiera normen över H¹(Ω) som

$\|v\|_{H^{1}(\Omega )}:=\left(\int _{\Omega }\sum _{i=1}^{n}|v^{i}(x)|^{2}\,\mathrm {d} x+\int _{\Omega }\sum _{i,j=1}^{n}|\partial _{j}v^{i}(x)|^{2}\,\mathrm {d} x\right)^{1/2}.$

Då finns det en konstant C ≥ 0, känd som Kornkonstanten av Ω, så att för alla v ∈ H¹(Ω) är

$\|v\|_{H^{1}(\Omega )}^{2}\leq C\int _{\Omega }\sum _{i,j=1}^{n}\left(|v^{i}(x)|^{2}+|(e_{ij}v)(x)|^{2}\right)\,\mathrm {d} x\quad (1)$

där e är den symmetriserade gradienten definierad som

$e_{ij}v={\frac {1}{2}}(\partial _{i}v^{j}+\partial _{j}v^{i}).$

Olikheten (1) är Korns olikhet.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Korn's inequality, 2 februari 2014.

• Horgan, Cornelius O. (1995). ”Korn's inequalities and their applications in continuum mechanics”. SIAM Rev. 37 (4): sid. 491–511. doi:10.1137/1037123. ISSN 0036-1445.