Kvadratkomplettering

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Kvadratkomplettering är att skriva ett andragradspolynom (polynom av grad 2) i kvadratisk form:

x^2 + px + q = \left(x + \frac{p}{2} \right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2 + q.

Kvadratkomplettering används bland annat för att lösa andragradsekvationer.

Härledning[redigera | redigera wikitext]

Med hjälp av en av kvadreringsreglerna utvecklar vi högerledet i ekvationen ovan och visar att det är lika med ekvationens vänsterled:

\left(x + \frac{p}{2} \right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2 + q\ = x^2 + 2 \cdot \frac{px}{2} + \left(\frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2 + q = x^2 + px + q.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Säg att man vill hitta de två lösningarna till ekvationen  x^2 + 32x - 33 = 0. Man kan då använda kvadratkomplettering:

 x^2 + 32x - 33 = \left( x + \frac{32}{2} \right)^2 - \left( \frac{32}{2} \right)^2 - 33 = \left( x + 16 \right)^2 - 289

sätt ovanstående lika med noll och lös:

 \begin{align}
&{} \left(x + 16 \right)^2 - 289 = 0 \\
&{} \Leftrightarrow \left(x + 16 \right)^2 = 289 \\
&{} \Leftrightarrow x + 16 = \pm 17 \\
&{} \Leftrightarrow x = - 16 \pm 17 \\
&{} \Leftrightarrow x = 1 ~~ \mathrm{eller} ~~ x = -33
\end{align}

Tillämpning[redigera | redigera wikitext]

Med kvadratkomplettering kan man lokalisera andragradspolynomets minsta värde:

x^2 + px + q = \underbrace{\left(x + \frac{p}{2} \right)^2}_{\geq 0} + \left(q - \left(\frac{p}{2}\right)^2\right)\geq q - \left(\frac{p}{2}\right)^2.

Denna olikhet visar att det minsta värdet q - (p/2)^2 antas då talet x är lika med talet -p/2.

Varianter[redigera | redigera wikitext]

Kvadratkomplettering kan även användas på andra sätt, exempelvis för att skriva om följande exempel.

x^2 + 2xy = (x+y)^2 - y^2\,
x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy\,

Se även[redigera | redigera wikitext]