Hoppa till innehållet

LF-fördelning

Från Wikipedia

En LF-fördelning (engelska linear fractional distributions) är en fördelning vars sannolikhetsgenererande funktion kan skrivas som kvoten mellan två linjära funktioner. En rationell funktion med linjära funktioner i täljare och nämnare ges av

där och är godtyckliga konstanter. En slumpvariabel sägs vara LF-fördelad med parametrarna  om dess sannolikhetsgenererande funktion kan skrivas som[1]

Notera att fördelningen kan skrivas på formen av ett linjärt bråk då

Det behövs dock endast två fria parametrar och eftersom är en genererande funktion med egenskaperna och . Tolkningen av LF-fördelningen är att det ger det totala antalet barn, där sannolikheten för det första barnet är och sannolikheten att få barn efter det första barnet är för varje barn[1].  LF-fördelningar är användbara för att få den genererande funktionen på en enklare form, särskilt efter upprepad applikation av funktionen.

Koppling till geometrisk fördelning

[redigera | redigera wikitext]

En slumpvariabel , fördelad efter den diskreta fördelningen

har ekvation som sannolikhetsgenererande funktion för [1]. Då kan vi se att LF-fördelningen är nära besläktad med den geometriska fördelningen. Om så får vi att

vilket är den sannolikhetsgenererande funktionen för den geometriska fördelningen[2]. Så om så är . Dessutom, om får vi

vilket är den sannolikhetsgenererande funktionen för den skiftade geometriska fördelningen (benämnd för-första-gången-fördelning i artikeln om geometrisk fördelning). Vidare är och givet är fördelad enligt den skiftade geometriska fördelningen .

Användning i Galton-Watson-processen

[redigera | redigera wikitext]

LF-fördelningen kan användas som reproduktionsfördelning i Galton-Watson-processen. Vi har från egenskaper av sannolikhetsgenererande funktioner[3] att väntevärdet ges av

.

De tre fallen , och benämns de subkritiska, kritiska respektive superkritiska fallen för processen[3]. I LF-fallet har vi då att i det subkritiska fallet, i det kritiska fallet och i det superkritiska fallet.

Upprepad applicering

[redigera | redigera wikitext]

Om vi betraktar en kvot av två linjära funktioner är det tydligt att den har samma form även vid upprepad sammansättning eftersom

Då LF-fördelningen kan skrivas som en kvot av två linjära funktioner gäller det att sammansättningen också är en LF-fördelning. LF-fördelningen upprepad gånger kan alltså skrivas som[1]

Från egenskaper av sannolikhetsgenererande funktioner och koppling till Galton-Watson-processen kan vi få ett uttryck av i bara . Parametrarna i kan uttryckas som

 

där och är parametrarna i LF-fördelningen . I det kritiska fallet, då gäller specifikt

Dessa uttryck är användbara för analys av Galton-Watson-processen.