Lagranges ekvationer

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Lagranges ekvationer är ett centralt begrepp inom analytisk mekanik och används för att bestämma rörelsen för ett mekaniskt system. Ekvationerna kan härledas ur Newtons rörelselagar och fick via förarbete av Leonhard Euler sin slutgiltiga formulering 1788 av Joseph Louis Lagrange.

För ett mekaniskt system med frihetsgrader kan systemets läge beskrivas av generaliserade koordinater . De generaliserade koordinaternas tidsderivator benämns generaliserade hastigheter. För ett konservativt system, det vill säga ett system där den mekaniska energin bevaras, kan Lagrangefunktionen definieras som skillnaden mellan den kinetiska och den potentiella energin. Lagrangefunktionen kan då uttryckas som en funktion av de generaliserade koordinaterna och hastigheterna som satisfierar Lagranges ekvationer och har formen

Lösningen till ekvationssystemet med gällande begynnelsevillkor ger de generaliserade koordinaterna som funktioner av tiden, vilket bestämmer systemets rörelse.

[1]Exempel[redigera | redigera wikitext]

Vi ska använda Lagranges ekvation för att lösa problemet med en endimensionell harmonisk oscillator (utan dämpning). Vi har följande:

där är kinetisk energi och potentiell energi, är en konstant.

och

Efter substitution av ekvation (3) i ekvation (1) får vi:

som är identisk med Newtons rörelseekvation, det vill säga .

Problemet ovan är rätt enkelt och går att lösa med Newtons formalism. Lagranges ekvationer är mer användbara vid lösning av mer avancerade problem. Dessa problem brukar ha fler än två koordinater vilket gör ekvation (1) mest lämplig att använda. Som ett exempel löser vi rörelseekvationerna för en partikel med massan m som rör sig på en sfärisk yta och påverkas av en konservativ kraft , och är vinklar, är en konstant kraften i riktning . Här får vi:

Vi har definierat den potentiella energin så att när . Observera att de sfäriska koordinaterna och behandlas som kartesiska koordinater vid beräkning med Lagrangeformalismen. Lagrange-ekvationen ges då av

Nu räknar vi ut de partiella derivator som ingår i Lagrange-ekvationen (ekvation 1) som följande

.

Tillämpar vi ekvation (1) för och finner vi att rörelsen beskrivs av följande ekvationer

där ekvation (9) relateras till att vridmomentet är lika med hastigheten för vinkelmomentets förändring och (8) relateras till arbete i en roterande referensram.

Härledning av Lagranges ekvationer med hjälp av Eulers lagar[redigera | redigera wikitext]

Vi studerar ett system av stela kroppar som utför plan rörelse.

Eulers rörelselagar för en godtycklig kropp lyder

där är den totala kraften på kroppen , det totala momentet av alla laster på kroppen m.a.p dess masscentrum kroppens massa, kroppens masströghetsmoment m.a.p hastigheten för och kroppens vinkelhastighet.

För att kunna härleda Lagranges ekvationer (rörelseekvationerna för ett system med n frihetsgrader) med hjälp av Eulers formler ska vi introducera virtuella effekten vilken innehåller helt godtyckliga skalärer av generaliserade koordinater , Genom att välja dessa koordinater på ett lämpligt sätt, kan vi får fram differentialekvationer, nämligen samtliga rörelseekvationer för systemet.

Tvångskrafter[redigera | redigera wikitext]

Tvångskrafter är de krafter som orsakas av kinematiska tvång(kinematika tvång är de krafter som motverkar en kroppsrörelse). Exempel på tvångskrafter är krafterna mellan två kroppar som är sammankopplade med en gångjärnsled, för ett hjul som glider är friktionskraften en tvångskraft eftersom den motverkar hjulets rörelse.

Den totala kraften på kropp kan delas upp i tvångskrafter samt övriga krafter . Momentet kan delas upp på likande sätt så att Eulers lagar (10) och (11) kan skrivas som

.

Virtuell hastighet, vinkelhastighet och effekt[redigera | redigera wikitext]

När man studerar en masspunkt med en frihetsgrad kan man enkelt manipulera Newtons andra lag för att bli av med de obekanta tvångskrafterna. Nu när vi studerar system av flera stela kroppar är det svårt att se rent geometriskt hur Eulers lagar kan manipuleras. Av den anledning för vi in begreppet virtuell hastighet, vinkelhastighet och effekt.

Den virtuella hastigheten för kropp masscentrum och den virtuella vinkelhastigheten för kropp är helt enkelt godtyckliga hastigheter respektive vinkelhastigheter som gör att de kinematiska tvången är uppfyllda då tiden tänks fixerad. Detta innebär att att kan skrivas som en linjär kombination av tangentvektorerna :

där är godtyckliga skalärer. Detta uttryck liknar det i (14) för den verkliga hastigheten men termen är inte med eftersom tiden är fixerad. På liknande sätt kan den virtuella vinkelhastigheten skrivas som

Den verkliga effekten [2] av alla laster på de kropparna i systemet definieras som summan av totala kraften på alla kroppar k multiplicerat med kropparnas hastighet plus summan av alla moment på systemet multiplicerat med deras vinkelhastigheten. Den verkliga effekten av alla laster på systemet fås genom att ersätta de verkliga hastigheterna och vinkelhastigheterna med virtuella. Man kan dra slutsatsen att tvångslasternas totala virtuella effekt är noll. Vi utesluter beviset för denna slutsats och hänvisar den intresserade läsaren till boken Elementär mekanik, del 2: stelkroppsmekanik av P. Christensen. Vi får på så sätt att:

Det är detta samband vi ska utnyttja för att härleda Lagranges ekvationer.

Lagranges ekvationer[redigera | redigera wikitext]

I mekaniska system verkar virtuella krafter vinkelrät mot kroppens rörelse, detta medför att det totala arbetet som utförs av virtuella krafter i sådana system summeras till noll och det totala arbetet utförs endast av de icke-virtuella krafterna. Härledningen nedan visar rörelse ekvationer för ett mekanisk system där alla virtuella krafter summeras till noll.

Den totala virtuella effekten av tvångslasterna på hela systemet av kroppar ges av (16). Om vi i detta uttryck sätter in hur de virtuella hastigheterna och vinkelhastigheterna ser ut enligt (14) och (15) får vi

där är godtyckliga. Om vi först väljer och övriga , får vi

Väljer vi sedan och övriga o.s.v., drar vi slutsatsen att

Insättning av Eulers lagar (10) och (11) ger

för kan vänsterledet skrivas om i termer av den kinetiska energin, vilken för kropp är

så att

På samma sätt fås

Tidsderiverar vi detta får vi

Därmed fås ur (21) och (19) att

så att (9) kan skrivas

där är systemets totala kinetiska energi: .

Systemet är oberoende av tvångskrafter som vi skulle visa. Ekvation (22) kallas Lagranges ekvation .

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2:a uppl, Addison-Wesley, ISBN 0-201-02969-3.
  • Classical Dynamics Of Particles And Systems Marion, Thornton.

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ ”The Lagrangian Method”. http://www.people.fas.harvard.edu/~djmorin/chap6.pdf. Läst 16 maj 2019. 
  2. ^ Christensen, Peter (2019). Elementär Mekanik del 2: stelkroppsmekanik