Lagranges ekvationer

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Lagranges ekvationer, som är ett centralt begrepp inom den analytiska mekaniken, kan användas för att bestämma rörelsen för ett mekaniskt system. Ekvationerna kan härledas ur Newtons rörelselagar och fick via förarbete av Leonhard Euler sin slutgiltiga formulering 1788 av Joseph Louis Lagrange.

För ett mekaniskt system med frihetsgrader kan systemets läge beskrivas av generaliserade koordinater . De generaliserade koordinaternas tidsderivator benämns generaliserade hastigheter. För ett konservativt system, det vill säga ett system där den mekaniska energin bevaras, kan Lagrangefunktionen definieras som skillnaden mellan den kinetiska och den potentiella energin. Denna kan då uttryckas som en funktion av de generaliserade koordinaterna och hastigheterna. Lagrangefunktionen satisfierar Lagranges ekvationer, som har formen

Lösning av ekvationssystemet med gällande begynnelsevillkor ger de generaliserade koordinaterna som funktioner av tiden, vilket bestämmer systemets rörelse.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Vi ska använda Lagrange ekvation för att lösa problemet med en endimensionell harmonisk oscillator (utan dämpning). Vi har följande:

där T är kinetisk energi och U potentiell energi, k är en konstant.

Och

Efter substitution av ekvation (3) i ekvation (1) får vi:

som är identisk med Newtons rörelseekvation, det vill säga .

Problemet ovan är rätt enkelt och går att lösa med Newtons formalism. Lagrange ekvationer är mer användbara vid lösning av mer avancerade typer av problem. Dessa problem brukar ha fler än två koordinater vilket gör ekvation (1) mest lämplig att använda. Som ett exempel löser vi rörelseekvationerna för en partikel med massan m som rör sig på en sfärisk yta och påverkas av en konservativ kraft där är en konstant. Här får vi:

Vi har definierat den potentiella energin så att när . Observera att de sfäriska koordinater och behandlas som kartesiska koordinater vid beräkning med Lagrangeformalismen. Lagrange ekvationen ges då av

Nu räknar vi ut de partiella derivator som ingår i Lagrange-ekvationen (ekvation 1) som följande

,

Tillämpar vi ekvation (1) för och finner vi att rörelseekvationerna blir följande

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2:a uppl, Addison-Wesley.
  • Classical Dynamics Of Particles And Systems Marion, Thornton.