Figur 1. Delambres analogier , Delambres formler eller Delambres ekvationer , ibland kallade Gauss analogier , Gauss formler eller Gauss ekvationer , är en uppsättning formler inom sfärisk trigonometri . För en sfärisk triangel på en enhetssfär gäller (beteckningar enligt figur 1):
sin
α
+
β
2
cos
γ
2
=
cos
a
−
b
2
cos
c
2
sin
α
−
β
2
cos
γ
2
=
sin
a
−
b
2
sin
c
2
cos
α
+
β
2
sin
γ
2
=
cos
a
+
b
2
cos
c
2
cos
α
−
β
2
sin
γ
2
=
sin
a
+
b
2
sin
c
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&\\{\frac {\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\cos {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\cos {\frac {a-b}{2}}}{\cos {\frac {c}{2}}}}&\qquad \qquad &{\frac {\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\cos {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\sin {\frac {a-b}{2}}}{\sin {\frac {c}{2}}}}\\[2ex]{\frac {\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\sin {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\cos {\frac {a+b}{2}}}{\cos {\frac {c}{2}}}}&\qquad &{\frac {\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\sin {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\sin {\frac {a+b}{2}}}{\sin {\frac {c}{2}}}}\end{aligned}}}
Motsvarande gäller även för övriga analoga kombinationer av hörnvinklar och sidor.
Utgående från ovanstående formler kan flera andra förhållanden inom den sfäriska trigonometrin visas, som exempelvis Napiers analogier .[ 1]
De plantrigonometriska motsvarigheterna kallas Mollweides formler eller Mollweides ekvationer :[ 2]
cos
α
−
β
2
sin
γ
2
=
a
+
b
c
sin
α
−
β
2
cos
γ
2
=
a
−
b
c
{\displaystyle {\frac {\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\sin {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {a+b}{c}}\qquad \qquad {\frac {\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\cos {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {a-b}{c}}}
Delambres analogier med hjälp av de sfäriska formlerna för halva vinkeln [ redigera | redigera wikitext ] Från den plana trigonometrin har vi att
sin
(
x
+
y
)
=
sin
x
cos
y
+
cos
x
sin
y
{\displaystyle \sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y}
vilket ger:
sin
α
+
β
2
=
sin
α
2
cos
β
2
+
cos
α
2
sin
β
2
{\displaystyle \sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}=\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}+\cos {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}}
Vi expanderar nu högerledet med hjälp av de sfäriska formlerna för halva vinkeln :
sin
α
2
=
sin
(
s
−
b
)
sin
(
s
−
c
)
sin
b
sin
c
{\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {\sin(s{-}b)\sin(s{-}c)}{\sin b\sin c}}}\qquad }
cos
α
2
=
sin
s
sin
(
s
−
a
)
sin
b
sin
c
{\displaystyle \qquad \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {\sin s\sin(s{-}a)}{\sin b\sin c}}}}
där
s
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
och motsvarande formler för
β
2
{\displaystyle {\frac {\beta }{2}}}
sin
α
+
β
2
=
sin
(
s
−
b
)
sin
(
s
−
c
)
sin
b
sin
c
⋅
sin
s
sin
(
s
−
b
)
sin
a
sin
c
+
sin
s
sin
(
s
−
a
)
sin
b
sin
c
⋅
sin
(
s
−
a
)
sin
(
s
−
c
)
sin
a
sin
c
=
=
sin
2
(
s
−
b
)
sin
(
s
−
c
)
sin
s
sin
a
sin
b
sin
2
c
+
sin
2
(
s
−
a
)
sin
(
s
−
c
)
sin
s
sin
a
sin
b
sin
2
c
=
=
sin
(
s
−
b
)
sin
c
⋅
sin
(
s
−
c
)
sin
s
sin
a
sin
b
+
sin
(
s
−
a
)
sin
c
⋅
sin
(
s
−
c
)
sin
s
sin
a
sin
b
=
=
sin
(
s
−
b
)
+
sin
(
s
−
a
)
sin
c
⋅
sin
(
s
−
c
)
sin
s
sin
a
sin
b
=
=
sin
(
s
−
b
)
+
sin
(
s
−
a
)
sin
c
⋅
cos
γ
2
(
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}&={\sqrt {{\frac {\sin(s{-}b)\sin(s{-}c)}{\sin b\sin c}}\cdot {\frac {\sin s\sin(s{-}b)}{\sin a\sin c}}}}+{\sqrt {{\frac {\sin s\sin(s{-}a)}{\sin b\sin c}}\cdot {\frac {\sin(s{-}a)\sin(s{-}c)}{\sin a\sin c}}}}=\\&={\sqrt {\frac {\sin ^{2}(s-b)\sin(s-c)\sin s}{\sin a\sin b\sin ^{2}c}}}+{\sqrt {\frac {\sin ^{2}(s-a)\sin(s-c)\sin s}{\sin a\sin b\sin ^{2}c}}}=\\&={\frac {\sin(s-b)}{\sin c}}\cdot {\sqrt {\frac {\sin(s-c)\sin s}{\sin a\sin b}}}+{\frac {\sin(s-a)}{\sin c}}\cdot {\sqrt {\frac {\sin(s-c)\sin s}{\sin a\sin b}}}=\\&={\frac {\sin(s-b)+\sin(s-a)}{\sin c}}\cdot {\sqrt {\frac {\sin(s-c)\sin s}{\sin a\sin b}}}=\\&={\frac {\sin(s-b)+\sin(s-a)}{\sin c}}\cdot \cos {\frac {\gamma }{2}}\qquad (1)\end{aligned}}}
Där vi i sista steget utnyttjade denna sfäriska formel för halva vinkeln:
cos
γ
2
=
sin
s
sin
(
s
−
c
)
sin
a
sin
b
{\displaystyle \cos {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {\sin s\sin(s-c)}{\sin a\sin b}}}}
Från den plana trigonometrin har vi också att
sin
x
+
sin
y
=
2
sin
x
+
y
2
cos
x
−
y
2
{\displaystyle \sin x+\sin y=2\sin {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}}
vilket ger oss
sin
(
s
−
b
)
+
sin
(
s
−
a
)
=
2
sin
(
s
−
b
)
+
(
s
−
a
)
2
cos
(
s
−
b
)
−
(
s
−
a
)
2
=
=
2
sin
2
s
−
b
−
a
2
cos
a
−
b
2
=
=
2
sin
c
2
cos
a
−
b
2
(
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(s-b)+\sin(s-a)&=2\sin {\frac {(s-b)+(s-a)}{2}}\cos {\frac {(s-b)-(s-a)}{2}}=\\&=2\sin {\frac {2s-b-a}{2}}\cos {\frac {a-b}{2}}=\\&=2\sin {\frac {c}{2}}\cos {\frac {a-b}{2}}\qquad (2)\end{aligned}}}
Där vi i sista steget utnyttjade
2
s
−
a
−
b
2
=
2
a
+
b
+
c
2
−
a
−
b
2
=
a
+
b
+
c
−
a
−
b
2
=
c
2
{\displaystyle {\frac {2s-a-b}{2}}={\frac {2{\frac {a+b+c}{2}}-a-b}{2}}={\frac {a+b+c-a-b}{2}}={\frac {c}{2}}}
Från den plana trigonometrin har vi slutligen formeln för sinus för dubbla vinkeln:
sin
c
=
2
sin
c
2
cos
c
2
(
3
)
{\displaystyle \sin c=2\sin {\frac {c}{2}}\cos {\frac {c}{2}}\qquad (3)}
Insättning av (2) och (3) i (1) ger oss:
sin
α
+
β
2
=
2
sin
c
2
cos
a
−
b
2
2
sin
c
2
cos
c
2
⋅
cos
γ
2
=
cos
a
−
b
2
cos
c
2
⋅
cos
γ
2
⇔
{\displaystyle \sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}={\frac {2\sin {\frac {c}{2}}\cos {\frac {a-b}{2}}}{2\sin {\frac {c}{2}}\cos {\frac {c}{2}}}}\cdot \cos {\frac {\gamma }{2}}={\frac {\cos {\frac {a-b}{2}}}{\cos {\frac {c}{2}}}}\cdot \cos {\frac {\gamma }{2}}\Leftrightarrow }
sin
α
+
β
2
cos
γ
2
=
cos
a
−
b
2
cos
c
2
Q
.
E
.
D
.
{\displaystyle {\frac {\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\cos {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\cos {\frac {a-b}{2}}}{\cos {\frac {c}{2}}}}\qquad Q.E.D.}
De tre övriga analogierna visas analogt utgående från plantrigonometrins:
sin
(
x
−
y
)
=
sin
x
cos
y
−
cos
x
sin
y
{\displaystyle \sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y}
cos
(
x
+
y
)
=
cos
x
cos
y
−
sin
x
sin
y
{\displaystyle \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y}
cos
(
x
−
y
)
=
cos
x
cos
y
+
sin
x
sin
y
{\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y}
med användande av relevanta plantrigonometriska formler för de uttryck som uppstår samt, i två av fallen:
sin
γ
2
=
sin
(
s
−
b
)
sin
(
s
−
a
)
sin
b
sin
a
{\displaystyle \sin {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {\sin(s{-}b)\sin(s{-}a)}{\sin b\sin a}}}}
Delambres analogier med hjälp av Napiers analogier [ redigera | redigera wikitext ] Delambres analogier kan användas för att enkelt visa Napiers analogier men de kan också erhållas ur dessa. För det begränsade fallet att alla hörnvinklar och sidor är mindre än
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
[ 3]
Den sfäriska cosinussatsen
cos
c
=
cos
a
⋅
cos
b
+
sin
a
⋅
sin
b
⋅
cos
γ
{\displaystyle \cos c=\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b\cdot \cos \gamma }
den plantrigonomtriska satsen för cosinus för dubbla vinkeln
cos
γ
=
cos
2
γ
2
−
sin
2
γ
2
{\displaystyle \cos \gamma =\cos ^{2}{\frac {\gamma }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}}
trigonometriska ettan
cos
2
γ
2
+
sin
2
γ
2
=
1
{\displaystyle \cos ^{2}{\frac {\gamma }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}=1}
samt därefter
cos
(
x
−
y
)
=
cos
x
cos
y
+
sin
x
sin
y
{\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y}
cos
(
x
+
y
)
=
cos
x
cos
y
−
sin
x
sin
y
{\displaystyle \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y}
ger oss:
1
+
cos
c
=
1
+
cos
a
⋅
cos
b
+
sin
a
⋅
sin
b
⋅
cos
γ
=
=
cos
2
γ
2
+
sin
2
γ
2
+
cos
a
⋅
cos
b
⋅
(
cos
2
γ
2
+
sin
2
γ
2
)
+
sin
a
⋅
sin
b
⋅
(
cos
2
γ
2
−
sin
2
γ
2
)
=
=
(
1
+
cos
a
cos
b
+
sin
a
sin
b
)
cos
2
γ
2
+
(
1
+
cos
a
cos
b
−
sin
a
sin
b
)
sin
2
γ
2
=
=
(
1
+
cos
(
a
−
b
)
)
cos
2
γ
2
+
(
1
+
cos
(
a
+
b
)
)
sin
2
γ
2
{\displaystyle {\begin{aligned}1+\cos c&=1+\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b\cdot \cos \gamma =\\&=\cos ^{2}{\frac {\gamma }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}+\cos a\cdot \cos b\cdot (\cos ^{2}{\frac {\gamma }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}})+\sin a\cdot \sin b\cdot \left(\cos ^{2}{\frac {\gamma }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}\right)=\\&=(1+\cos a\cos b+\sin a\sin b)\cos ^{2}{\frac {\gamma }{2}}+(1+\cos a\cos b-\sin a\sin b)\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}=\\&=(1+\cos(a-b))\cos ^{2}{\frac {\gamma }{2}}+(1+\cos(a+b))\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}\end{aligned}}}
Vi har också från den plana trigonometrin att
1
+
cos
x
=
2
cos
2
x
2
{\displaystyle 1+\cos x=2\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}
vilket nu appliceras trefalt på vårt uttryck:
2
cos
2
c
2
=
2
cos
2
a
−
b
2
cos
2
γ
2
+
2
cos
2
a
+
b
2
sin
2
γ
2
⇔
{\displaystyle 2\cos ^{2}{\frac {c}{2}}=2\cos ^{2}{\frac {a-b}{2}}\cos ^{2}{\frac {\gamma }{2}}+2\cos ^{2}{\frac {a+b}{2}}\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}\Leftrightarrow }
cos
2
c
2
=
cos
2
a
−
b
2
cos
2
γ
2
+
cos
2
a
+
b
2
sin
2
γ
2
⇔
{\displaystyle \cos ^{2}{\frac {c}{2}}=\cos ^{2}{\frac {a-b}{2}}\cos ^{2}{\frac {\gamma }{2}}+\cos ^{2}{\frac {a+b}{2}}\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}\Leftrightarrow }
cos
2
c
2
cos
2
a
+
b
2
sin
2
γ
2
=
cos
2
a
−
b
2
cos
2
γ
2
cos
2
a
+
b
2
sin
2
γ
2
+
1
=
cos
2
a
−
b
2
cos
2
a
+
b
2
⋅
cot
2
γ
2
+
1
=
tan
2
α
+
β
2
+
1
=
1
cos
2
α
+
β
2
{\displaystyle {\frac {\cos ^{2}{\frac {c}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {a+b}{2}}\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\cos ^{2}{\frac {a-b}{2}}\cos ^{2}{\frac {\gamma }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {a+b}{2}}\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}}}+1={\frac {\cos ^{2}{\frac {a-b}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {a+b}{2}}}}\cdot \cot ^{2}{\frac {\gamma }{2}}+1=\tan ^{2}{\frac {\alpha +\beta }{2}}+1={\frac {1}{\cos ^{2}{\frac {\alpha +\beta }{2}}}}}
Där vi i näst sista steget utnyttjade Napiers analogi:
tan
α
+
β
2
=
cos
a
−
b
2
cos
a
+
b
2
⋅
cot
γ
2
{\displaystyle \tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}={\frac {\cos {\frac {a-b}{2}}}{\cos {\frac {a+b}{2}}}}\cdot \cot {\frac {\gamma }{2}}}
och i sista att
cos
2
x
=
1
1
+
tan
2
x
{\displaystyle \cos ^{2}x={\frac {1}{1+\tan ^{2}x}}}
Omflyttning ger oss:
cos
2
α
+
β
2
sin
2
γ
2
=
cos
2
a
+
b
2
cos
2
c
2
{\displaystyle {\frac {\cos ^{2}{\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\cos ^{2}{\frac {a+b}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {c}{2}}}}}
Då vi begränsat oss till vinklar och sidor som alla är mindre än
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
cos
α
+
β
2
sin
γ
2
=
cos
a
+
b
2
cos
c
2
{\displaystyle {\frac {\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\sin {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\cos {\frac {a+b}{2}}}{\cos {\frac {c}{2}}}}}
Härledningen av
cos
α
−
β
2
sin
γ
2
=
sin
a
+
b
2
sin
c
2
{\displaystyle {\frac {\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\sin {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\sin {\frac {a+b}{2}}}{\sin {\frac {c}{2}}}}}
görs analogt via
2
sin
2
c
2
=
2
sin
2
a
−
b
2
cos
2
γ
2
+
2
sin
2
a
+
b
2
sin
2
γ
2
{\displaystyle 2\sin ^{2}{\frac {c}{2}}=2\sin ^{2}{\frac {a-b}{2}}\cos ^{2}{\frac {\gamma }{2}}+2\sin ^{2}{\frac {a+b}{2}}\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}}
De två återstående analogierna fås genom multiplikation av de två vi visat och två av Napiers analogier.
cos
α
+
β
2
sin
γ
2
=
cos
a
+
b
2
cos
c
2
{\displaystyle {\frac {\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\sin {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\cos {\frac {a+b}{2}}}{\cos {\frac {c}{2}}}}}
multiplicerad med
tan
α
+
β
2
=
c
o
s
a
−
b
2
cos
a
+
b
2
⋅
cot
γ
2
{\displaystyle \tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}={\frac {cos{\frac {a-b}{2}}}{\cos {\frac {a+b}{2}}}}\cdot \cot {\frac {\gamma }{2}}}
ger
cos
α
+
β
2
sin
γ
2
⋅
tan
α
+
β
2
=
cos
a
+
b
2
cos
c
2
⋅
c
o
s
a
−
b
2
cos
a
+
b
2
⋅
cot
γ
2
⇔
{\displaystyle {\frac {\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\sin {\frac {\gamma }{2}}}}\cdot \tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}={\frac {\cos {\frac {a+b}{2}}}{\cos {\frac {c}{2}}}}\cdot {\frac {cos{\frac {a-b}{2}}}{\cos {\frac {a+b}{2}}}}\cdot \cot {\frac {\gamma }{2}}\Leftrightarrow }
cos
α
+
β
2
sin
γ
2
{\displaystyle {\frac {\cancel {\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}{\cancel {\sin {\frac {\gamma }{2}}}}}}
⋅
sin
α
+
β
2
cos
α
+
β
2
=
cos
a
+
b
2
cos
c
2
⋅
c
o
s
a
−
b
2
cos
a
+
b
2
⋅
cos
γ
2
sin
γ
2
⇔
{\displaystyle \cdot {\frac {\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\cancel {\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}}={\frac {\cancel {\cos {\frac {a+b}{2}}}}{\cos {\frac {c}{2}}}}\cdot {\frac {cos{\frac {a-b}{2}}}{\cancel {\cos {\frac {a+b}{2}}}}}\cdot {\frac {\cos {\frac {\gamma }{2}}}{\cancel {\sin {\frac {\gamma }{2}}}}}\Leftrightarrow }
sin
α
+
β
2
cos
γ
2
=
cos
a
−
b
2
cos
c
2
{\displaystyle {\frac {\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\cos {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\cos {\frac {a-b}{2}}}{\cos {\frac {c}{2}}}}}
På samma sätt ger multiplikation av
cos
α
−
β
2
sin
γ
2
=
sin
a
+
b
2
sin
c
2
{\displaystyle {\frac {\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\sin {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\sin {\frac {a+b}{2}}}{\sin {\frac {c}{2}}}}}
med
tan
α
−
β
2
=
s
i
n
a
−
b
2
sin
a
+
b
2
⋅
cot
γ
2
{\displaystyle \tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}={\frac {sin{\frac {a-b}{2}}}{\sin {\frac {a+b}{2}}}}\cdot \cot {\frac {\gamma }{2}}}
till resultat
sin
α
−
β
2
cos
γ
2
=
sin
a
−
b
2
sin
c
2
{\displaystyle {\frac {\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\cos {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\sin {\frac {a-b}{2}}}{\sin {\frac {c}{2}}}}}
Då storcirkelbågarna (triangelsidorna) i en sfärisk triangel görs allt mindre närmar dessa sig räta linjer och den sfäriska triangeln närmar sig en plan triangel. Då
sin
x
x
→
1
{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}\rightarrow 1}
x
→
0
{\displaystyle x\rightarrow 0}
Men Mollweides formler kan även visas helt plantrigonometriskt med hjälp av den planära sinussatsen :
a
sin
α
=
b
sin
β
=
c
sin
γ
{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}
Vi har:
a
−
b
c
=
a
c
−
b
c
=
sin
α
sin
γ
−
sin
β
sin
γ
=
sin
α
−
sin
β
sin
γ
{\displaystyle {\frac {a-b}{c}}={\frac {a}{c}}-{\frac {b}{c}}={\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }}-{\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \gamma }}}
De kända formlerna
sin
α
−
sin
β
=
2
cos
α
+
β
2
sin
α
−
β
2
{\displaystyle \sin \alpha -\sin \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}
sin
2
γ
=
2
sin
γ
cos
γ
⇔
sin
γ
=
2
sin
γ
2
cos
γ
2
{\displaystyle \sin 2\gamma =2\sin \gamma \cos \gamma \Leftrightarrow \sin \gamma =2\sin {\frac {\gamma }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}}
ger:
a
−
b
c
=
2
cos
α
+
β
2
sin
α
−
β
2
2
sin
γ
2
cos
γ
2
{\displaystyle {\frac {a-b}{c}}={\frac {2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{2\sin {\frac {\gamma }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}}}}
och
α
+
β
+
γ
=
π
{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =\pi }
cos
(
π
2
−
x
)
=
sin
x
{\displaystyle \cos({\frac {\pi }{2}}-x)=\sin x}
a
−
b
c
=
2
cos
π
−
γ
2
sin
α
−
β
2
2
sin
γ
2
cos
γ
2
=
2
sin
γ
2
sin
α
−
β
2
2
sin
γ
2
cos
γ
2
=
sin
α
−
β
2
cos
γ
2
{\displaystyle {\frac {a-b}{c}}={\frac {2\cos {\frac {\pi -\gamma }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{2\sin {\frac {\gamma }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {2\sin {\frac {\gamma }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{2\sin {\frac {\gamma }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\cos {\frac {\gamma }{2}}}}}
Den andra formeln visas analogt.
Jean-Baptiste Joseph Delambre publicerade sin upptäckt med ett geometriskt bevis i den franska astronomiska almanackan Connaissance des Temps för 1809, utgiven i april 1807.[ 4] Carl Friedrich Gauss analogierna utan bevis i Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium [ 5] [ 6] [ 7] Gaußsche Gleichungen ), trots att Delambre bevisligen har företräde.[ 8]
Carl Brandan Mollweide publicerade sina formler 1808 i Zusätze zur ebenen und sphärischen Trigonometrie .[ 9]
^ Se Casey (2013) avsnitten 43-48 för andra exempel.
^ Knut Lundmark , Astronomisk matematik - Sfärisk trigonometri , Teknisk tidskrift , 29 juli 1944, sid. 885-896 (888 ).^ Denna begränsning görs eftersom man annars bland annat måste visa att
α
+
β
>
π
⇔
a
+
b
>
π
{\displaystyle \alpha +\beta >\pi \Leftrightarrow a+b>\pi }
^ Le Bureau des Longitudes, 1807, Connaissance des temps ou des mouvements célestes: à l'usage des astronomes et des navigateurs pour l'an 1809 , Paris. Formlerna på sid. 445 . Utgivningsår och -månad enligt tilelsidan .
^ C.F. Gauss, 1809, Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium , F. Perthes & I.H. Besser, Hamburg, sid. 51 . Förordet daterat Göttingen 28 mars 1809, sid. xi .
^ C,F, Gauss, 1809, Theorie der Bewegung der Himmelskörper welche in Kegelschnitten die Sonne umlaufen
^ John Casey, 2013, A Treatise on Spherical Trigonometry, and Its Application to Geodesy and Astronomy, with Numerous Examples ISBN 9781447483489 .
^ Johannes Tropfke , 1923, Geschichte der Elemantarmathematik ISBN 9783111447766 .^ C. B. Mollweide, Zusätze zur ebenen und sphärischen Trigonometrie sid. 396 "Dadurch wird...").
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\\{\frac {\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\cos {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\cos {\frac {a-b}{2}}}{\cos {\frac {c}{2}}}}&\qquad \qquad &{\frac {\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\cos {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\sin {\frac {a-b}{2}}}{\sin {\frac {c}{2}}}}\\[2ex]{\frac {\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\sin {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\cos {\frac {a+b}{2}}}{\cos {\frac {c}{2}}}}&\qquad &{\frac {\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\sin {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\sin {\frac {a+b}{2}}}{\sin {\frac {c}{2}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94bd9c9954cba28aefbb93fee16d31859888c98e)
