Multipel-zetafunktionen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är multipel-zetafunktionerna generaliseringar av Riemanns zetafunktion definierade som

och konvergerar då Re(s1) + ... + Re(si) > i för alla i. Såsom Riemanns zeta-funktion kan multipel-zetafunktionen fortsättas analytisk till en meromorfisk funktion. Då s1, ..., sk är alla positiva heltal (med s1 > 1) kallas summorna ofta för multipel-zetavärden eller Eulersummor.

Om samma argument förekommer flera gånger brukar man skriva det kompaktare, exempelvis

Två parametrar[redigera | redigera wikitext]

Med två parametrar är (där s > 1 och n,m heltal)

där är de generaliserade harmoniska talen.

En identitet av Euler:

där Hn är de harmoniska talen.

Speciella värden av dubbla zetafunktionen med s > 0 och jämnt, t > 1 och udda, s+t:=2N+1, definiera ζ(0) = 0:

Eulers reflektionsformel[redigera | redigera wikitext]

Multipel-zetafunktionen satisfierar Eulers reflektionsformel:

för

Man kan även bevisa att:[1]

för

Andra resultat[redigera | redigera wikitext]

För positiva heltal :

eller mer allmänt

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Multiple zeta function, 23 december 2013.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Broadhurst, D. J. (1996). ”On the enumeration of irreducible k-fold Euler sums and their roles in knot theory and field theory.”. 'arXiv:hep-th/9604128'.