Nolldelare

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Om R är en kommutativ ring, så är ett element a ≠ 0 i R en nolldelare, om det finns ett element b ≠ 0 i R, sådant att a·b = 0.[1]

Om en kommutativ ring saknar nolldelare, så kallas den för ett integritetsområde. I en ring, som inte är kommutativ skiljer man på vänsternolldelare och högernolldelare.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Heltalen Z, de reella talen R och de komplexa talen C saknar nolldelare.

Matrisen \left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right) i matrisringen av 2×2-matriser med reella element är en nolldelare, eftersom

\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{matrix}\right)\,\left(\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{matrix}\right).

Produkten av två kvadratiska matriser kan således bli lika med nollmatrisen, trots att ingen av dessa är nollmatrisen. I denna ring är nolldelarna de matriser vars determinant är lika med noll.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

En nolldelare är inte inverterbar, för om  ax = 0 följer det att:

 0 = a^{-1}0 = a^{-1}ax = x

Alla idempotenta element  a \neq 1 är nolldelare, för om  a^2 = a följer det att  a(a-1) = (a-1)a = 0 .

Alla nilpotenta element är nolldelare, för om  a^n = 0 följer det att  aa^{n-1} = a^{n-1}a = 0 .

Ringen av kongruensklasser modulo n,  \mathbb{Z}_n , har nolldelare om och endast om n är ett sammansatt tal.

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • I.N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell, New York 1964.
  • B.L. van der Waerden, Algebra Erster Teil, Springer-Verlag, Berlin 1950.
  • Oscar Zariski, Pierre Samuel, Commutative Algebra, Volume 1, D. van Nostrand Company, Princeton New Jersey 1958.


Referenser[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Israel Nathan Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell Publishing Company, New York 1964.


Se även[redigera | redigera wikitext]