Normal delgrupp

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En normal delgrupp är inom den abstrakta algebran en särskild sorts delgrupp, som är av fundamental betydelse vid konstruktionen av kvotgrupper. En delgrupp N till en grupp G, kallas för en normal delgrupp om den är invariant under varje inre automorfi på G, det vill säga om avbildningen g-1Ng = N för alla element g i G. Matematikern Évariste Galois var den förste, som insåg betydelsen av att skilja på vanliga och normala delgrupper.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Om G är en grupp och N en delgrupp till G, så är N en normal delgrupp till G om N är invariant under konjugering. Detta kan även uttryckas enligt följande: N är normal, om för alla h i N och alla g i G,  ghg^{-1} är ett element i N.

Att N är en normal delgrupp till G skrivs oftast  N \triangleleft G eller  G \triangleright N .

Följande tre alternativa definitioner av normal delgrupp är ekvivalenta:

En normal delgrupp M säges vara en maximal normal delgrupp i G om M ≠ G och det inte finns någon normal delgrupp N i G sådan att  M < N < G .

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

  • Kärnan till en grupphomomorfi f : G → H är en normal delgrupp av G.
  • Normalitet bevaras av surjektiva homomorfier.
  • Om N är normal i G och F är en delgrupp i G sådan att N≤F≤G, så är N normal i F.
  • Normalitet är inte en transitiv relation, en normal delgrupp till en normal delgrupp till G behöver inte vara normal i G.
  • Om en delgrupp N till G är normal kan man bilda kvotgruppen  G / N , ty man kan definiera multiplikation av sidoklasser enligt:
(aN)(bN) = abN
  •  M \triangleleft G är maximal om och endast om  G/M är enkel.

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • B.L. van der Waerden, Algebra, Springer Verlag 1950.
  • I.N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell 1964.