Normal delgrupp

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

En normal delgrupp är inom den abstrakta algebran en särskild sorts delgrupp, som är av fundamental betydelse vid konstruktionen av kvotgrupper. En delgrupp N till en grupp G, kallas för en normal delgrupp om den är invariant under varje inre automorfi på G, det vill säga om avbildningen g-1Ng = N för alla element g i G. Matematikern Évariste Galois var den förste, som insåg betydelsen av att skilja på vanliga och normala delgrupper.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Om G är en grupp och N en delgrupp till G, så är N en normal delgrupp till G om N är invariant under konjugering. Detta kan även uttryckas enligt följande: N är normal, om för alla h i N och alla g i G, är ett element i N.

Att N är en normal delgrupp till G skrivs oftast eller .

Följande tre alternativa definitioner av normal delgrupp är ekvivalenta:

  • N är en normal delgrupp i G om
  • N är en normal delgrupp i G om gN = Ng, det vill säga om N:s vänstersidoklasser och högersidoklasser sammanfaller.
  • N är en normal delgrupp i G om det existerar en homomorfiG vars kärna är N.

En normal delgrupp M säges vara en maximal normal delgrupp i G om M ≠ G och det inte finns någon normal delgrupp N i G sådan att .

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

  • Kärnan till en grupphomomorfi f : G → H är en normal delgrupp av G.
  • Normalitet bevaras av surjektiva homomorfier.
  • Om N är normal i G och F är en delgrupp i G sådan att N≤F≤G, så är N normal i F.
  • Normalitet är inte en transitiv relation, en normal delgrupp till en normal delgrupp till G behöver inte vara normal i G.
  • Om en delgrupp N till G är normal kan man bilda kvotgruppen , ty man kan definiera multiplikation av sidoklasser enligt:
  • är maximal om och endast om är enkel.

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • B.L. van der Waerden, Algebra, Springer Verlag 1950.
  • I.N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell 1964.