Oändlig produkt

En oändlig produkt är inom matematiken en produkt som innehåller ett oändligt antal faktorer. Om a_n betecknar den nte faktorn, kan en sådan produkt skrivas

$\prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}\;a_{2}\;a_{3}\cdots .$

Konvergens

Det finns två fall då denna produkt sägs konvergera:

• $\lim _{N\to \infty }\prod _{n=1}^{N}a_{n}=P\neq 0$, eller
• Endast ett ändligt antal $a_{n}$ är lika med 0.

Om något av dessa fall är uppfyllt sägs produkten vara konvergent; i annat fall är den divergent.

Exempel på divergenta produkter

Produkterna

• $\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ och
• $\prod _{n=1}^{\infty }0$

är inte konvergenta.

Krav för konvergens

Om $a_{n}>0$ så konvergerar $\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})$ om och endast om $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ konvergerar.

Exempel

Exempel på välkända oändliga produkter är Viètes formel för talet π,

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots$,

och Wallis formel för detsamma,

${\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots .$