Partialintegration

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Partialintegration eller partiell integration är ett sätt att analytiskt lösa integraler vars integrand är en produkt av två funktioner.

Det går att föreställa sig regeln som en integralversion av produktregeln för differentiering.

Om u = u(x) och du = u'(x) dx och v = v(x) och dv = v'(x) dx, då anger satsen om partiell integration att

eller mera kompakt

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Produkt av två funktioner[redigera | redigera wikitext]

Satsen kan härledas enligt: för två kontinuerligt differentierbara funktioner u(x) och v(x), innebär produktregeln att

Integrering av båda sidor med avseende på x,

och antagandet att en obestämd integral är en antideriva ger

där vi låter bli att skriva ut integrationskonstanten. Detta ger formeln för partiell integration som

eller, i termer av differentialer av två funktioner

Detta skall förstås som en likhet mellan funktioner med en ospecificerad konstant adderad till varje sida som svarar mot de två värdena x = a och x = b.

Produkt av många funktioner[redigera | redigera wikitext]

Integrering med produktregeln för u(x), v(x), w(x), ger ett liknande resultat:

Generellt, för n faktorer

vilket leder till

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Vissa integraler är analytiskt lösbara endast genom partiell integration. Exempel på sådana integraler är de med integrander som har formen p(x)f(x), där p(x) är ett godtyckligt polynom och f(x) är en exponentialfunktion eller trigonometrisk funktion. För dessa kan polynomen elimineras genom upprepad partiell integration.

Exempel:

En vanlig metod när en integrand har en obekant primitiv funktion, är att låta integranden bestå av funktionen '1' multiplicerad med den ursprungliga integranden (vars derivata antas vara känd). Ett exempel på metoden är beräkning av logaritmfunktionens integral:

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Integration by parts.